2010　大阪大学　前期MathJax

【１】　曲線$C:y=-x^2-1$を考える．

(1)　$t$が実数全体を動くとき，曲線$C$上の点$(t,-t^2-1)$を頂点とする放物線

$y={\displaystyle \frac{3}{4}}{(x-t)}^2-t^2-1$

が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$D$を(1)で求めた領域の境界とする．$D$が$x$軸の正の部分と交わる点を$(a,0)$とし，$x=a$での$C$の接線を$l$とする．$D$と$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{2}^x+3^y=43\\ {\log }_{2}x-{\log }_{3}y=1\end{array}$

を考える．

(1)　この連立方程式を満たす自然数$x\text{，}y$の組を求めよ．

(2)　この連立方程式を満たす正の実数$x\text{，}y$は，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．

【３】(1)　不等式

${(|x|-2)}^2+{(|y|-2)}^2\leqq 1$

の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$1$個のさいころを$4$回投げ，$n$回目（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$）に出た目の数を$a_n$とする．このとき

$(x,y)=(a_1-a_2,a_3-a_4)$

が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．

【１】　関数

$f(x)=2\log (1+e^x)-x-\log 2$

を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f(x)$の第$2$次導関数を$f^{″}(x)$とする．等式

$\log f^{″}(x)=-f(x)$

が成り立つことを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}(x-\log 2)e^{-f(x)}dx$を求めよ．

【２】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$2$つの曲線

$C_1:x^2+3y^2=3\text{，}{C}_2:{\displaystyle \frac{x^2}{{\cos }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{y^2}{{\sin }^2\theta }}=2$

の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものを$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$における$C_1\text{，}{C}_2$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，$y$軸と$l_1\text{，}{l}_2$の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　$l\text{，}m\text{，}n$を$3$以上の整数とする．等式

$({\displaystyle \frac{n}{m}}-{\displaystyle \frac{n}{2}}+1)l=2$

を満たす$l\text{，}m\text{，}n$の組をすべて求めよ．

【４】　半径$3$の球$T_1$と半径$1$の球$T_2$が，内接した状態で空間に固定されている．半径$1$の球$S$が次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．

(A)　$S$は$T_1$の内部にあるか$T_1$に内接している．

(B)　$S$は$T_2$の外部にあるか$T_2$に外接している．

　$S$の中心が存在しうる範囲を$D$とするとき，立体$D$の体積を求めよ．

【５】　$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．

(1)　時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．

(2)　時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．

(3)　時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}\text{，}$他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{q_n}{p_n}}$を求めよ．