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2010-10561-0201
2010 大阪大学 後期
理,工,基礎工学部
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 p は素数, r は正の整数とする.以下の問いに答えよ.
(1) x1 ,x2 , ⋯, xr についての式 (x1 +x2 +⋯+ xr )p を展開したときの単項式 x 1p1 ⁢x 2p2 ⁢⋯⁢ xr pr の係数を求めよ.ここで, p1 , p2 , ⋯, pr は 0 または正の整数で p 1+p 2+⋯ +pr =p をみたすとする.
(2) x1 ,x2 , ⋯, xr が正の整数のとき,
( x1+ x2+ ⋯+x r) p-( x1p +x 2p+ ⋯+ xrp )
は p で割り切れることを示せ.
(3) r は p で割り切れないとする.このとき, rp- 1-1 は p で割り切れることを示せ.
2010-10561-0202
【2】 a>0 は定数, θ は 0< θ< π2 の範囲を動く変数とする. xyz 空間で (a⁢ cos⁡θ, a⁢sin⁡ θ,0) に中心をもち半径が a の球を S とする.さらに, S を zx 平面により二分し y 軸の負の方向にある部分を S 1 ,S を yz 平面により二分し x 軸の負の方向にある部分を S2 とする.
(1) S の体積 V1 ⁡(θ ) を求めよ.
(2) S から S1 と S2 を取り除いた立体の体積を V⁡ (θ) とするとき, V⁡( θ) (0 <θ< π 2 ) の最大値を求めよ.
2010-10561-0203
【3】 曲線 C: y= ex1 +ex 上に点 A (a , ea 1+ea ) をとる.ただし, a>0 とする.
(1) C 上にあり A とは異なる点 P (p , ep 1+ep ) について,そこでの接線が A での接線と平行となるように p の値を定めよ.
(2) p は上で定めた値とする. C と x 軸および 2 直線 x= a, x=p で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.
2010-10561-0204
配点70点
【4】 円 C は, 2 つの放物線 P1 :y= 1 4⁢a ⁢ x2 ( a> 0) と P 2:y =- 14⁢b ⁡ x2+ m (b >0 ,m> 0) で囲まれた領域内にあり,両方の放物線と共有点をもち,さらに y 軸上に中心をもつとする.このとき,以下のことを示せ.
(1) C が P1 および P2 のそれぞれと 1 点のみを共有するならば, m≦4 ⁢a かつ m≦ 4⁢b である.
(2) C が P1 および P2 のそれぞれと 2 点を共有するならば, (a+ b)2 <m⁢a かつ ( a+b) 2<m ⁢b である.