2010　大阪大学　後期MathJax

【１】　$p$は素数，$r$は正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_r$についての式${(x_1+x_2+\cdots +x_r)}^p$を展開したときの単項式${x_1}^{p_1}{x_2}^{p_2}\cdots {x_r}^{p_r}$の係数を求めよ．ここで，$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$は$0$または正の整数で$p_1+p_2+\cdots +p_r=p$をみたすとする．

(2)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_r$が正の整数のとき，

${(x_1+x_2+\cdots +x_r)}^p-({x_1}^p+{x_2}^p+\cdots +{x_r}^p)$

は$p$で割り切れることを示せ．

(3)　$r$は$p$で割り切れないとする．このとき，$r^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．

【２】　$a>0$は定数，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動く変数とする．$xyz$空間で$(a\cos \theta ,a\sin \theta ,0)$に中心をもち半径が$a$の球を$S$とする．さらに，$S$を$zx$平面により二分し$y$軸の負の方向にある部分を$S_1\text{，}S$を$yz$平面により二分し$x$軸の負の方向にある部分を$S_2$とする．

(1)　$S$の体積$V_1(\theta )$を求めよ．

(2)　$S$から$S_1$と$S_2$を取り除いた立体の体積を$V(\theta )$とするとき，$V(\theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の最大値を求めよ．

【３】　曲線$C:y={\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x}}$上に点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{e^a}{1+e^a}})$をとる．ただし，$a>0$とする．

(1)　$C$上にあり$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{e^p}{1+e^p}})$について，そこでの接線が$\mathrm{A}$での接線と平行となるように$p$の値を定めよ．

(2)　$p$は上で定めた値とする．$C$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=p$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【４】　円$C$は，$2$つの放物線$P_1:y={\displaystyle \frac{1}{4a}}{x}^2\text{（}a>0\text{）}$と$P_2:y=-{\displaystyle \frac{1}{4b}}{x}^2+m\text{（}b>0\text{，}m>0\text{）}$で囲まれた領域内にあり，両方の放物線と共有点をもち，さらに$y$軸上に中心をもつとする．このとき，以下のことを示せ．

(1)　$C$が$P_1$および$P_2$のそれぞれと$1$点のみを共有するならば，$m\leqq 4a$かつ$m\leqq 4b$である．

(2)　$C$が$P_1$および$P_2$のそれぞれと$2$点を共有するならば，${(a+b)}^2<ma$かつ${(a+b)}^2<mb$である．