2010　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　平面上に，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1$であるようにとる．$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{A}$を反時計回りに，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$回転させた位置にある点を$\mathrm{B}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$回転させた位置にある点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積と$▵\mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ求めよ．

(3)　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{B}$を通って直線$\mathrm{AC}$に平行な直線と，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$\left|\overrightarrow{d}\right|$と$\left|\overrightarrow{e}\right|$をそれぞれ求めよ．

(4)　次の式を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c}\text{，}\text{（}0\leqq s\text{，}0\leqq t\text{，}1\leqq s+t\leqq 2\text{）}$

【２】　自然数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}xdx$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　定積分$I_1\text{，}{I}_2\text{，}{I}_3$を求めよ．

(2)　次の不等式を求めよ．

$I_n\geqq I_{n+1}$

(3)　次の漸化式が成り立つことを証明せよ．

$I_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{I}_n$

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}$

【３】　座標平面上で，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される移動を$f$とする．$0$でないすべての実数$t$に対して，点$\mathrm{P}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}},t-{\displaystyle \frac{1}{t}})$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は，

${(a+b)}^2={(c+d)}^2\text{，}{(a-b)}^2={(c-d)}^2\text{，}(a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2$

を満たすことを示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は，

$a^2-c^2=d^2-b^2=1\text{，}ab=cd$

を満たすことを示せ．

(3)　$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とするとき，

$X^2-Y^2=x^2-y^2$

となることを示せ．

(4)　点$\mathrm{Q}$が直線$y=x$上にあるとき，$f(\mathrm{Q})$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．

【４】　点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発して，『確率$p$で$+1\text{，}$確率$1-p$で$+2$』の移動を繰り返す．ただし$0\leqq p\leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を$p$を用いて表せ．

(2)　$p_n\text{，}{p}_{n+1}\text{，}{p}_{n+2}$の間の関係式を求めよ．

(3)　$a_n=p_{n+1}-p_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．

(4)　$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．

(5)　数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．