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2010-10565-0201
2010 大阪教育大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 係数が実数である多項式 f ⁡(x )=x 3+a⁢ x2+ b⁢x+ c に対して,方程式 f ⁡(x )=0 が異なる 3 つの実数解をもつとき,次の問に答えよ.
(1) 方程式 f ′⁡( x)= 0 は異なる 2 つの実数解をもつことを示せ.
(2) (1)の解を α , β とするとき, α2 +β2 と α3+ β3 を a , b で表せ.
(3) 次の式が成立することを示せ.
f⁡ ( α+β 2 )= f ⁡(α )+f ⁡(β )2
2010-10565-0202
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【2】 ▵ABC について,次の問に答えよ.
(1) 辺 BC , CA ,AB の中点を D , E , F とすると,線分 AD , BE ,CF は 1 点 G で交わり,
AG:GD= BG:GE= CG:GF= 2:1
であることを示せ.
(2) ▵ABC の面積を S , 内接円の半径を r , 3 辺の長さを a , b ,c とすると,
r= Sl ,S= l⁢( l-a) ⁢(l -b) ⁢(l -c)
であることを示せ.ただし 2 ⁢l=a +b+c とする.
2010-10565-0203
【3】 n は自然数とし, t>0 とする.次の問に答えよ.
(1) 次の不等式を示せ.
(1 +t) n≧1 +n⁢t + n⁢( n-1) 2⁢ t 2
(2) 0<r <1 とする.次の極限値を求めよ.
limn →∞ n (1 +t) n , lim n→∞ n⁢ rn
(3) x≠- 1 のとき,次の和 S n を求めよ.
Sn= 1-2⁢ x+3⁢ x2- 4⁢x 3+⋯ +( -1) n-1 ⁢n⁢ xn- 1
(4) 0<x <1 のとき,極限値 limn→ ∞S n を A ⁡( x) とおく. A⁡( x) を求めよ.さらに,極限値 limx→ 1-0 A⁡( x) を求めよ.
2010-10565-0204
【4】 実数 a , b は a >b>0 とする. 楕だ 円 x 2a2 + y2b 2= 1 で囲まれる領域を A , 楕円 x 2b2 + y 2a2 =1 で囲まれる領域を B で表す.共通部分 A ∩B の面積を S , 和集合 A ∪B の面積を T とする.次の問に答えよ.
(1) A の面積が π ⁢a⁢b であることを証明せよ.
(2) B に含まれて A に含まれない部分の面積を a , b ,α を用いて表せ.ただし, sin⁡α = aa2 +b2 ,0 <α< π 2 とする.
(3) T=2 ⁢S であるとき, b a の値を求めよ.