2010　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　係数が実数である多項式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$に対して，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，次の問に答えよ．

(1)　方程式$f^{\prime }(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$と${\alpha }^3+{\beta }^3$を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　次の式が成立することを示せ．

$f\left({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\right)={\displaystyle \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}}$

【２】　$▵\mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすると，線分$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$は$1$点$\mathrm{G}$で交わり，

$\mathrm{AG}:\mathrm{GD}=\mathrm{BG}:\mathrm{GE}=\mathrm{CG}:\mathrm{GF}=2:1$

であることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$内接円の半径を$r\text{，}3$辺の長さを$a\text{，}b\text{，}c$とすると，

$r={\displaystyle \frac{S}{l}}\text{，}S=\sqrt{l(l-a)(l-b)(l-c)}$

であることを示せ．ただし$2l=a+b+c$とする．

【３】　$n$は自然数とし，$t>0$とする．次の問に答えよ．

(1)　次の不等式を示せ．

${(1+t)}^n\geqq 1+nt+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{t}^2$

(2)　$0<r<1$とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{{(1+t)}^n}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n$

(3)　$x\ne -1$のとき，次の和$S_n$を求めよ．

$S_n=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots +{(-1)}^{n-1}n{x}^{n-1}$

(4)　$0<x<1$のとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$A(x)$とおく．$A(x)$を求めよ．さらに，極限値$\underset{x\to 1-0}{\lim }A(x)$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$は$a>b>0$とする．$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$で囲まれる領域を$A\text{，}$楕円${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$で囲まれる領域を$B$で表す．共通部分$A\cap B$の面積を$S\text{，}$和集合$A\cup B$の面積を$T$とする．次の問に答えよ．

(1)　$A$の面積が$\pi ab$であることを証明せよ．

(2)　$B$に含まれて$A$に含まれない部分の面積を$a\text{，}b\text{，}\alpha$を用いて表せ．ただし，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$T=2S$であるとき，${\displaystyle \frac{b}{a}}$の値を求めよ．