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2010-10601-0101
2010 神戸大学 前期
文科系
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 実数 a ,b に対して, f⁡(x )=a⁢ (x- b)2 とおく.ただし, a は正とする.放物線 y= f⁡(x ) が直線 y= -4⁢x +4 に接している.このとき,以下の問に答えよ.
(1) b を a を用いて表せ.
(2) 0≦x≦ 2 において, f⁡(x ) の最大値 M⁡ (a) と,最小値 m⁡ (a) を求めよ.
(3) a が正の実数を動くとき, M⁡(a ) の最小値を求めよ.
2010-10601-0102
【2】 空間内に 4 点 O ,A ,B ,C があり,
OA=3 ,OB=OC =4 ,∠BOC =∠COA= ∠AOB= π3
であるとする. 3 点 A ,B ,C を通る平面に垂線 OH をおろす.このとき,以下の問に答えよ.
(1) a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とし, OH→ =r⁢ a→+ s⁢b →+t ⁢c→ と表すとき, r ,s , t を求めよ.
(2) 直線 CH と直線 AB の交点を D とするとき,長さの比 CH: HD, AD:DB をそれぞれ求めよ.
2010-10601-0103
理科系【2】の類題
【3】 a ,b を自然数とする.以下の問に答えよ.
(1) a⁢b が 3 の倍数であるとき, a または b は 3 の倍数であることを示せ.
(2) a+b と a⁢ b がともに 3 の倍数であるとき, a と b はともに 3 の倍数であることを示せ.
(3) a+b と a2 +b2 がともに 3 の倍数であるとき, a と b はともに 3 の倍数であることを示せ.
2010-10601-0104
理科系
配点30点
【1】 a を実数とする.関数 f⁡ (x)=a ⁢x+cos ⁡x+ 12 ⁢ sin⁡2⁢ x が極値をもたないように, a の値の範囲を定めよ.
2010-10601-0105
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文科系【3】の類題
【2】 p を 3 以上の素数, a ,b を自然数とする.以下の問に答えよ.ただし,自然数 m ,n に対し, m⁢n が p の倍数ならば, m または n は p の倍数であることを用いてよい.
(1) a+b と a⁢ b がともに p の倍数であるとき, a と b はともに p の倍数であることを示せ.
(2) a+b と a2 +b2 がともに p の倍数であるとき, a と b はともに p の倍数であることを示せ.
(3) a2+ b2 と a3 +b3 がともに p の倍数であるとき, a と b はともに p の倍数であることを示せ.
2010-10601-0106
【3】 f⁡(x )= log⁡x x ,g⁡ (x)= 2 ⁢log⁡x x2 ( x> 0) とする.以下の問に答えよ.ただし,自然対数の底 e について, e=2.718 ⋯ であること, limx →∞ ⁡ log⁡x x= 0 であることを証明なしで用いてよい.
(1) 2 曲線 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ) の共有点の座標をすべて求めよ.
(2) 区間 x> 0 において,関数 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ) の増減,極値を調べ, 2 曲線 y= f⁡(x ), y=g⁡ (x) のグラフの概形をかけ.グラフの変曲点は求めなくてよい.
(3) 区間 1≦ x≦e において, 2 曲線 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ), および直線 x= e で囲まれた図形の面積を求めよ.
2010-10601-0107
【4】 N を自然数とする.赤いカード 2 枚と白いカード N 枚が入っている袋から無作為にカードを 1 枚ずつ取り出して並べていくゲームをする. 2 枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する.赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を X とし,ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を Y とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) n=0 ,1 ,⋯ ,N に対して, X=n となる確率 pn を求めよ.
(2) X の期待値を求めよ.
(3) n=0 ,1 ,⋯ ,N に対して, Y=n となる確率 qn を求めよ.
2010-10601-0108
【5】 座標平面において,点 Pn (a n,b n) (n ≧1 ) を
( a1 b 1 )=( 1 0 )
( an bn )= 12 ⁢( cos⁡ θ-sin ⁡θ sin⁡θ cos⁡θ ) ⁢( an- 1 bn-1 )( n≧2 )
で定める.このとき,以下の問に答えよ.
(1) an ,bn を n と θ を用いて表せ.
(2) θ= π3 のとき,自然数 n に対して,線分 Pn Pn +1 の長さ ln を求めよ.
(3) (2)で求めた ln に対して, ∑ n=1 ∞⁡ ln を求めよ.