2010 神戸大学 前期MathJax

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2010 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a b に対して, f(x )=a (x- b)2 とおく.ただし, a は正とする.放物線 y= f(x ) が直線 y= -4x +4 に接している.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  b a を用いて表せ.

(2)  0x 2 において, f(x ) の最大値 M (a) と,最小値 m (a) を求めよ.

(3)  a が正の実数を動くとき, M(a ) の最小値を求めよ.

2010 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】 空間内に 4 O A B C があり,

OA=3 OB=OC =4 BOC =COA= AOB= π3

であるとする. 3 A B C を通る平面に垂線 OH をおろす.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  a =OA b =OB c =OC とし, OH =r a+ sb +t c と表すとき, r s t を求めよ.

(2) 直線 CH と直線 AB の交点を D とするとき,長さの比 CH: HD AD:DB をそれぞれ求めよ.

2010 神戸大学 前期

文科系

配点25点

理科系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  a b を自然数とする.以下の問に答えよ.

(1)  ab 3 の倍数であるとき, a または b 3 の倍数であることを示せ.

(2)  a+b a b がともに 3 の倍数であるとき, a b はともに 3 の倍数であることを示せ.

(3)  a+b a2 +b2 がともに 3 の倍数であるとき, a b はともに 3 の倍数であることを示せ.

2010 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする.関数 f (x)=a x+cos x+ 12 sin2 x が極値をもたないように, a の値の範囲を定めよ.

2010 神戸大学 前期

理科系

配点30点

文科系【3】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  p 3 以上の素数, a b を自然数とする.以下の問に答えよ.ただし,自然数 m n に対し, mn p の倍数ならば, m または n p の倍数であることを用いてよい.

(1)  a+b a b がともに p の倍数であるとき, a b はともに p の倍数であることを示せ.

(2)  a+b a2 +b2 がともに p の倍数であるとき, a b はともに p の倍数であることを示せ.

(3)  a2+ b2 a3 +b3 がともに p の倍数であるとき, a b はともに p の倍数であることを示せ.

2010 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )= logx x g (x)= 2 logx x2 x> 0 とする.以下の問に答えよ.ただし,自然対数の底 e について, e=2.718 であること, limx logx x= 0 であることを証明なしで用いてよい.

(1)  2 曲線 y= f(x ) y= g(x ) の共有点の座標をすべて求めよ.

(2) 区間 x> 0 において,関数 y= f(x ) y= g(x ) の増減,極値を調べ, 2 曲線 y= f(x ) y=g (x) のグラフの概形をかけ.グラフの変曲点は求めなくてよい.

(3) 区間 1 xe において, 2 曲線 y= f(x ) y= g(x ) および直線 x= e で囲まれた図形の面積を求めよ.

2010 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  N を自然数とする.赤いカード 2 枚と白いカード N 枚が入っている袋から無作為にカードを 1 枚ずつ取り出して並べていくゲームをする. 2 枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する.赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を X とし,ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を Y とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  n=0 1 N に対して, X=n となる確率 pn を求めよ.

(2)  X の期待値を求めよ.

(3)  n=0 1 N に対して, Y=n となる確率 qn を求めよ.

2010 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】 座標平面において,点 Pn (a n,b n) n 1

( a1 b 1 )=( 1 0 )

( an bn )= 12 ( cos θ-sin θ sinθ cosθ ) ( an- 1 bn-1 ) n2

で定める.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  an bn n θ を用いて表せ.

(2)  θ= π3 のとき,自然数 n に対して,線分 Pn Pn +1 の長さ ln を求めよ.

(3) (2)で求めた ln に対して, n=1 ln を求めよ.

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