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2010 神戸大学 後期

経済学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a に対して,

I(a )= 01 | x2- a2 | dx

とおく.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  a1 のとき, I(a ) を求めよ.

(2)  0a 1 のとき, I(a ) を求めよ.

(3)  I(a ) の最小値を求めよ.

2010 神戸大学 後期

経済学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  OAB において, OA=2 OB=1 とする.辺 AB の中点を M とし, AOM= α BOM =β とおく.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  2sin α=sin β が成り立つことを示せ.

(2)  AB=7 であるとき, α および β の値を求めよ.

(3)  α のとりうる値の最大値を求めよ.

2010 神戸大学 後期

経済学部・理科系共通

経済学部は25点,理科系は30点

理科系は【5】

易□ 並□ 難□

2010年神戸大後期文科系【3】の図

【3】 右図のような立方体 ABCD- EFGH の各頂点に白または赤の色を塗る.ただし,立方体の面を構成する 6 つの正方形それぞれについて,その 4 つの頂点をすべて同じ色で塗ってはならないとする.このとき,以下の問に答えよ.

(1) 赤で塗られる頂点の個数が 2 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.

(2) 赤で塗られる頂点の個数が 3 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.

(3) 赤で塗られる頂点の個数が 4 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.

(4) 塗り方は全部で何通りあるか.

2010 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 自然数 n に対して, an= 2n- (-1 )n とし,ベクトル

vn =( an+ 2,a n+1 ,an )

を考える.このとき,以下の問に答えよ.

(1) すべての自然数 n に対して,ベクトル p =(1, b,c) は,ベクトル v n と垂直であるという.ただし, b c n によらない定数とする.このとき, b c を求めよ.

(2) 自然数 n に対して, qn r n sn

1 2n vn =(q n,r n,s n)

で定める.数列 {qn } {rn } {sn ] の極限値をそれぞれ q r s とするとき,ベクトル v = (q,r ,s) を求めよ.

(3) 正の実数 t に対して, 2 つのベクトル p +t v v のなす角が π6 であるとき, t の値を求めよ.

2010 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 区間 (- ,) 上の連続関数 f (x) が,

f(x )=0 x 0

f(x )-f (x-π )=e 2x sinx x0

をみたすとする. F(x )= x- πx f( t)d t とおくとき,以下の問に答えよ.

(1)  F (x) を求めよ.

(2)  F(0 ) を求めよ.

(3)  x0 に対して, F(x ) を求めよ.

2010 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )g (x) を, f(0 )=g (0) f( 1)=g (1) および

0x 1のとき f (x) g(x )0

をみたす x の多項式とする.また 0 t1 なる実数 t に対して,区間 0 xt において関数 y= f(x ) y= g(x ) のグラフと直線 x= t で囲まれた図形の面積を S (t) この図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を V (t) とするとき, S(t ) V (t)

S(t )=- 23 t3 +t2

V(t )=π ( - 45 t5 +4 t4- 8t3 +6 t2)

と表されるとする.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  f(x )-g (x) および { f(x )}2 -{g (x) }2 を求めよ.

(2)  f(x ) g (x) を求めよ.

(3) 区間 1 x2 において関数 y= f(x ) y= g(x ) のグラフと直線 x= 2 で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.

2010 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】 実数 x y に対し,行列 A P

A=( 0 13 - 12 x) P= ( 12 1y )

と定める. P の逆行列が存在し, P-1 A P が対角行列であるとする.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  x y および P -1 AP を求めよ.

(2) 自然数 n について An を求めよ.

(3)  E 2 次の単位行列とし,自然数 n に対して,

E+A+ A2+ A3+ +A n=( a nb n cn dn )

とおく.数列 {an } {bn } {cn } {dn } のそれぞれの極限値を求めよ.

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