Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2010年度一覧へ
大学別一覧へ
神戸大学一覧へ
2010-10601-0201
2010 神戸大学 後期
経済学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 実数 a に対して,
I⁡(a )= ∫01 ⁡| x2- a2 |⁢ dx
とおく.このとき,以下の問に答えよ.
(1) a≧1 のとき, I⁡(a ) を求めよ.
(2) 0≦a≦ 1 のとき, I⁡(a ) を求めよ.
(3) I⁡(a ) の最小値を求めよ.
2010-10601-0202
【2】 ▵OAB において, OA=2 ,OB=1 とする.辺 AB の中点を M とし, ∠AOM= α, ∠BOM =β とおく.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 2⁢sin⁡ α=sin⁡ β が成り立つことを示せ.
(2) AB=7 であるとき, α および β の値を求めよ.
(3) α のとりうる値の最大値を求めよ.
2010-10601-0203
経済学部・理科系共通
経済学部は25点,理科系は30点
理科系は【5】
【3】 右図のような立方体 ABCD- EFGH の各頂点に白または赤の色を塗る.ただし,立方体の面を構成する 6 つの正方形それぞれについて,その 4 つの頂点をすべて同じ色で塗ってはならないとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 赤で塗られる頂点の個数が 2 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.
(2) 赤で塗られる頂点の個数が 3 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.
(3) 赤で塗られる頂点の個数が 4 個のとき,塗り方は全部で何通りあるか.
(4) 塗り方は全部で何通りあるか.
2010-10601-0204
理科系
配点30点
【1】 自然数 n に対して, an= 2n- (-1 )n とし,ベクトル
vn →=( an+ 2,a n+1 ,an )
を考える.このとき,以下の問に答えよ.
(1) すべての自然数 n に対して,ベクトル p→ =(1, b,c) は,ベクトル v n→ と垂直であるという.ただし, b ,c は n によらない定数とする.このとき, b ,c を求めよ.
(2) 自然数 n に対して, qn ,r n, sn を
1 2n ⁢ vn→ =(q n,r n,s n)
で定める.数列 {qn }, {rn }, {sn ] の極限値をそれぞれ q ,r ,s とするとき,ベクトル v →= (q,r ,s) を求めよ.
(3) 正の実数 t に対して, 2 つのベクトル p→ +t⁢ v→ と v→ のなす角が π6 であるとき, t の値を求めよ.
2010-10601-0205
【2】 区間 (-∞ ,∞) 上の連続関数 f⁡ (x) が,
f⁡(x )=0 (x ≦0 )
f⁡(x )-f⁡ (x-π )=e 2⁢x ⁢sin⁡x ( x≧0 )
をみたすとする. F⁡(x )= ∫x- πx ⁡f⁡( t)⁢d t とおくとき,以下の問に答えよ.
(1) F′⁡ (x) を求めよ.
(2) F⁡(0 ) を求めよ.
(3) x≧0 に対して, F⁡(x ) を求めよ.
2010-10601-0206
【3】 f⁡(x ),g ⁡(x) を, f⁡(0 )=g⁡ (0) ,f⁡( 1)=g ⁡(1) および
0≦x≦ 1のとき f⁡ (x)≧ g⁡(x )≧0
をみたす x の多項式とする.また 0≦ t≦1 なる実数 t に対して,区間 0≦ x≦t において関数 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ) のグラフと直線 x= t で囲まれた図形の面積を S⁡ (t) , この図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を V⁡ (t) とするとき, S⁡(t ) と V⁡ (t) は
S⁡(t )=- 23⁡ t3 +t2
V⁡(t )=π⁢ ( - 45⁢ t5 +4⁢ t4- 8⁢t3 +6⁢ t2)
と表されるとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) f⁡(x )-g⁡ (x) および { f⁡(x )}2 -{g ⁡(x) }2 を求めよ.
(2) f⁡(x ) と g⁡ (x) を求めよ.
(3) 区間 1≦ x≦2 において関数 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ) のグラフと直線 x= 2 で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.
2010-10601-0207
【4】 実数 x ,y に対し,行列 A ,P を
A=( 0 13 - 12 x) ,P= ( 12 1y )
と定める. P の逆行列が存在し, P-1 ⁢A⁢ P が対角行列であるとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) x ,y および P -1⁢ A⁢P を求めよ.
(2) 自然数 n について An を求めよ.
(3) E を 2 次の単位行列とし,自然数 n に対して,
E+A+ A2+ A3+ ⋯+A n=( a nb n cn dn )
とおく.数列 {an }, {bn }, {cn }, {dn } のそれぞれの極限値を求めよ.