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2010-10701-0101
2010 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B,
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C共通
易□ 並□ 難□
【1】 男性 M1 , ⋯, M4 の 4 人と女性 F1 , ⋯, F4 の 4 人が,横一列に並んだ座席 S1 ,⋯ ,S8 に座る場合を考える.
(1) 同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか.
(2) (1)の座り方の中で, M1 の両隣が F1 と F2 になる座り方は何通りあるか.
(3) (1)の座り方の中で, M1 と F1 が隣り合わない座り方は何通りあるか.
2010-10701-0102
数学I・数学II・数学A・数学B
【2】 自然数 m ,n に対して,自然数 m⋄ n を次のように定める.
例えば, 1⋄1= 4, 1⋄2= 6, 2⋄1= 9, 4⋄2= 33, 5⋄3= 56, 1⋄6 =14, 6⋄1 =49 である.
(1) 数列 8⋄ 1, 8⋄2 ,8⋄ 3, ⋯ の初項 8⋄ 1 から第 25 項 8⋄ 25 までの和を求めよ.
(2) m⋄n= 474 を満たす自然数 m ,n の組をすべて求めよ.
2010-10701-0103
【3】 a ,b を実数とし, a≠0 とする. x についての 3 次方程式
a⁢x3 +(a+ 1)⁢ x2+( b+1) ⁢x+b =0⋯ ①
を考える.
(1) a=b= 1 のとき, ① の実数解を求めよ.
(2) ① がちょうど 2 つの相異なる実数解を持つ条件を a ,b を用いて表せ.
2010-10701-0104
【4】 a を正の実数とする.放物線 P: y=x 2 上の点 A( a,a2 ) における接線を l1 とし,点 A を通り l1 と直交する直線を l2 とする.また, l2 と放物線 P との交点のうち A ではない方を B (b ,b2 ) とする.さらに,点 B を通り l1 に平行な直線を l3 とし, l3 と放物線 P との交点のうち B ではない方を C (c ,c2 ) とする.
(1) b+c= 2⁢a であることを示せ.
(2) 放物線 P と l3 で囲まれた部分の面積を S とする. S を a を用いて表し, S が最小になるときの S と a の値を求めよ.
2010-10701-0105
数学A・数学B・数学C
【2】 次の条件で定められる数列 {an } を考える.
a1= 1, a2= 3, an+ 2=a n+a n+1 ( n=1 ,2 ,3 , ⋯)
(1) すべての自然数 n に対して
X⁢( a na n+1 a n+1 an +2 )= ( an+1 a n+2 a n+2 an +3 )
が成り立つように,行列 X を定めよ.
(2) 自然数 n に対して an ⁢an +2- (a n+1 )2 の値を推測して,その結果を数学的帰納法によって証明せよ.
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【3】 原点を中心とする半径 1 の円を C1 とし,原点を中心とする半径 12 の円を C2 とする. C1 上に点 P 1( cos⁡θ, sin⁡θ ) があり,また, C2 上に点 P 2( 12 ⁢ cos⁡3⁢ θ, 12⁢ sin⁡ 3⁢θ ) がある.ただし, 0≦θ < π2 であるとする.線分 P 1P2 の中点を Q とし,点 Q の原点からの距離を r⁡ (θ ) とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 Q の x 座標の取りうる範囲を求めよ.
(2) 点 Q が y 軸上にあるときの θ の値を α とする.このとき, α および定積分
∫ 0α ⁡{r ⁡(θ) }2⁢ dθ
を求めよ.
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【4】 平面上に半径 1 の円がある.この円に外接し,さらに隣り合う 2 つが互いに外接するように,同じ大きさの n 個の円を図(例1)のように配置し,その一つの円の半径を Rn とする.また,円 C に内接し,さらに隣り合う 2 つが互いに外接するように,同じ大きさの n 個の円を図(例2)のように配置し,その一つの円の半径を rn とする.ただし, n≧3 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) R6 ,r6 を求めよ.
(2) limn→ ∞⁡ n2⁢ (Rn -rn ) を求めよ.ただし, limθ →0 ⁡ sin⁡θ θ= 1 を用いてよい.