2010　岡山大学　前期MathJax

【１】　男性${\mathrm{M}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{M}}_4$の$4$人と女性${\mathrm{F}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{F}}_4$の$4$人が，横一列に並んだ座席${\mathrm{S}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{S}}_8$に座る場合を考える．

(1)　同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．

(2)　(1)の座り方の中で，${\mathrm{M}}_1$の両隣が${\mathrm{F}}_1$と${\mathrm{F}}_2$になる座り方は何通りあるか．

(3)　(1)の座り方の中で，${\mathrm{M}}_1$と${\mathrm{F}}_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．

【２】　自然数$m\text{，}n$に対して，自然数$m\diamond n$を次のように定める．

　例えば，$1\diamond 1=4\text{，}1\diamond 2=6\text{，}2\diamond 1=9\text{，}4\diamond 2=33\text{，}5\diamond 3=56\text{，}1\diamond 6=14\text{，}6\diamond 1=49$である．

(1)　数列$8\diamond 1\text{，}8\diamond 2\text{，}8\diamond 3\text{，}\cdots$の初項$8\diamond 1$から第$25$項$8\diamond 25$までの和を求めよ．

(2)　$m\diamond n=474$を満たす自然数$m\text{，}n$の組をすべて求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，$a\ne 0$とする．$x$についての$3$次方程式

$a{x}^3+(a+1)x^2+(b+1)x+b=0\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　$a=b=1$のとき，$\text{①}$の実数解を求めよ．

(2)　$\text{①}$がちょうど$2$つの相異なる実数解を持つ条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【４】　$a$を正の実数とする．放物線$P:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,a^2)$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{A}$を通り$l_1$と直交する直線を$l_2$とする．また，$l_2$と放物線$P$との交点のうち$\mathrm{A}$ではない方を$\mathrm{B}(b,b^2)$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を通り$l_1$に平行な直線を$l_3$とし，$l_3$と放物線$P$との交点のうち$\mathrm{B}$ではない方を$\mathrm{C}(c,c^2)$とする．

(1)　$b+c=2a$であることを示せ．

(2)　放物線$P$と$l_3$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表し，$S$が最小になるときの$S$と$a$の値を求めよ．

【２】　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$n$に対して

$X\left(\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n+1}\\ a_{n+1}& a_{n+2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& a_{n+2}\\ a_{n+2}& a_{n+3}\end{array}\right)$

が成り立つように，行列$X$を定めよ．

(2)　自然数$n$に対して$a_n{a}_{n+2}-{(a_{n+1})}^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

【３】　原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点${\mathrm{P}}_1(\cos \theta ,\sin \theta )$があり，また，$C_2$上に点${\mathrm{P}}_2({\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 3\theta ,{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 3\theta )$がある．ただし，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の原点からの距離を$r(\theta )$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標の取りうる範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}{\{r(\theta )\}}^{2}d\theta$

を求めよ．

【４】　平面上に半径$1$の円がある．この円に外接し，さらに隣り合う$2$つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例１）のように配置し，その一つの円の半径を$R_n$とする．また，円$C$に内接し，さらに隣り合う$2$つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例２）のように配置し，その一つの円の半径を$r_n$とする．ただし，$n\geqq 3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$R_6\text{，}{r}_6$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$を用いてよい．