2010　広島大学　後期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,y)$が点${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$に移されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}^{\prime }(2,1)$に移される点$\mathrm{P}(x,y)$を求めよ．

(2)　$\theta$を実数とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}},\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$とするとき，原点$\mathrm{O}$と点${\mathrm{P}}^{\prime }$の距離$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を点$\mathrm{P}$が動くとき，$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$の値の範囲を求めよ．

【２】　$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{BO}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{T}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{APR}$の面積を$S$と$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{PQT}$の面積を最小にする$t$の値を求めよ．また，そのときの面積を$S$を用いて表せ．

【３】　正の数からなる数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．$a_1={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}x\sin 3xdx$とし，$a_{n+1}$は$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_{n}x\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$および曲線$y=-x\sin 3x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}})$で囲まれた部分の面積とする．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{b_n\}$は等比数列であることを示せ．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$を用いて表せ．

(4)　$a_n$を求めよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=n{a}_n+n^2+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の第$2$項から第$6$項までの値を求めよ．

(2)　$a_n$が$3$の倍数ならば，$a_{n+1}$は$3$の倍数でないことを示せ．

(3)　数学的帰納法を用いて，$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は奇数であることを示せ．

【５】　右図のような，$1$から$6$までの数字が書かれた盤がある．さいころを投げ，出た目と同じ数字の白丸のところに小石を$1$個置く．この操作を繰り返し，次々と小石を白丸に置いてゆく．ただし，既に出た目と同じ目が出たら，小石は置かずに操作を終了する．したがって，操作終了後には盤上に$1$個以上，$6$個以下の小石が置かれている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　盤上に小石が$1$個置かれている確率を求めよ．

(2)　盤上に小石が$2$個置かれている確率を求めよ．

(3)　盤上に小石が$3$個置かれ，さらにその$3$個の小石が正三角形の頂点に配置されている確率を求めよ．

(4)　盤上に置かれている小石の個数が偶数のときはその個数が得点として与えられ，奇数のときは得点は$0$点とする．このとき，得点の期待値を求めよ．

【１】　自然数のうち，$2$と$8$がどの$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$にも現れないものを考え，それらを小さい方から順に並べた数列

$1,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15,16,17,19,30,31,33,\cdots$

を$\{a_n\}$とする．いま，自然数$m$に対し，数列$\{a_n\}$の中にある$m$桁の整数の個数を$f(m)$とする．例えば$f(1)=7$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(2)\text{，}f(3)$を求めよ．

(2)　自然数$m$に対し，$f(m)$を求めよ．

(3)　自然数$m$に対し，数列$\{a_n\}$の中にある$m$桁の整数の逆数の総和は${\displaystyle \frac{f(m)}{{10}^{m-1}}}$より小さいことを示せ．

(4)　すべての自然数$n$に対し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}<35$が成り立つことを示せ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は整数であって，$ad-bc=1$および$\omega ={\displaystyle \frac{a\omega +b}{c\omega +d}}$をみたすとする．ここで$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$（$i$は虚数単位）である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a^2+ac+c^2=1$を示せ．

(2)　$|a|\leqq 1$であることを示せ．

(3)　$a+d=1$をみたす$A$をすべて求めよ．

(4)　(3)の各行列$A$に対して$A^{100}$を求めよ．

【３】　$0<\theta \leqq \pi$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin k\theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin x\geqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$が成り立つことを示せ．

(2)　等式$\sin (\alpha +\beta )\sin \alpha -\sin (\alpha -\beta )\sin \alpha =\sin 2\alpha \sin \beta$を示せ．

(3)　$S_n={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{(n+1)\theta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{n\theta }{2}}}{\theta }}$が成り立つことを示せ．

(4)　$|S_n|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\theta }}$が成り立つことを示せ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．サイコロ投げを$3$以上の目が出るか，または投げた回数が$n$に達するまで繰り返す．このとき，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対し$k$回目に$3$以上の目が出て終了したときは得点は$k$とし，$n$回投げて$n$回目にも$3$以上の目が出なかったときは得点は$0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，得点が$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$である確率をそれぞれ求め，さらに得点の期待値を求めよ．

(2)　$n$が$2$以上の整数のとき，得点が$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$である確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$n$が$2$以上の整数のとき，得点の期待値$E_n$を求めよ．

(4)　(3)で求めた期待値$E_n$について，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-x^4+2x^2$のグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(2)　関数$y=-x^4+2x^2$のグラフと直線$y=k$が$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)のとき，$4$つの交点の$x$座標を小さい方から順に$-\alpha \text{，}-\beta \text{，}\beta \text{，}\alpha$とする．ただし，$0<\beta <\alpha$である．このとき，${\displaystyle \frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{\alpha +\beta }}$と${\displaystyle \frac{{\alpha }^5+{\beta }^5}{\alpha +\beta }}$の値をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(4)　関数$y=-x^4+2x^2$のグラフと直線$y=k$で囲まれる部分は$3$つあり，それらの面積は等しいという．$k$の値を求めよ．