2010　広島大学　後期総合問題MathJax

【１】

問１　以下の空欄にあてはまる語句を記入せよ．ただし同じ語句を$2$度使ってはいけない．また$\boxed{\text{(A)}}\text{，}\boxed{\text{(B)}}$については，$\boxed{\text{(8)}}\text{，}\boxed{\text{(9)}}$の語句のいずれかと同一のものを記入せよ．

　「$3$と$4$の最小公倍数は$12$である」，「円周率は$3$より小さい」のように，正しいか正しくないかが決まる文や式を$\boxed{\text{(1)}}$という．正しいときその$\boxed{\text{(1)}}$は$\boxed{\text{(2)}}$であるといい，正しくないとき$\boxed{\text{(3)}}$であるという．

　「$\mathrm{p}$ならば$\mathrm{q}$である」の形の$\boxed{\text{(1)}}$を$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$と書く．$\mathrm{p}$に対して，「$\mathrm{p}$でない」を$\mathrm{p}$の$\boxed{\text{(1)}}$といい，$\bar{\mathrm{p}}$で表す．$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$が$\boxed{\text{(2)}}$のとき，$\mathrm{p}$は$q$であるための$\boxed{\text{(5)}}$条件，$\mathrm{q}$は$\mathrm{p}$であるための$\boxed{\text{(6)}}$条件であるという．$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$と$\mathrm{q}⟹\mathrm{p}$がともに$\boxed{\text{(2)}}$のとき，$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{(7)}}$条件であるという．

　$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$に対し，$\mathrm{q}⟹\mathrm{p}$をもとの$\boxed{\text{(1)}}$の$\boxed{\text{(8)}}$という．$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$に対し，$\bar{\mathrm{q}}⟹\bar{\mathrm{p}}$をもとの$\boxed{\text{(1)}}$の$\boxed{\text{(9)}}$という．もとの$\boxed{\text{(1)}}$が$\boxed{\text{(2)}}$ならその$\boxed{\text{(A)}}$も$\boxed{\text{(2)}}$だが，その$\boxed{\text{(B)}}$は$\boxed{\text{(2)}}$とは限らない．

　与えられた$\boxed{\text{(1)}}$が$\boxed{\text{(2)}}$である事を証明するとき，その$\boxed{\text{(1)}}$が$\boxed{\text{(3)}}$であると仮定して矛盾を導く証明法を$\boxed{\text{(10)}}$という．

【１】

問２(1)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}}dx$を求めよ．

【１】

問２(2)　${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

【１】

問２(3)　$x>0$のとき，$x^{\sin x}$の導関数を求めよ．

【１】

問３　${(1+\sqrt{2})}^n=p_n+q_n\sqrt{2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により自然数の数列$p_n\text{，}{q}_n$を定義する．

(1)　$p_6\text{，}{p}_6$を計算せよ．

(2)　$p_{n+1}>q_n$を示せ．

(3)　${(1-\sqrt{2})}^n=p_n-q_n\sqrt{2}$に注意して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}=\sqrt{2}$を示せ．