2010　高知大学　前期MathJax

【１】　等差数列$\{a_n\}$は$a_9=-5\text{，}{a}_{13}=6$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n$が正となる最小の$n$を求めよ．

(3)　第$1$項から第$n$までの和$S_n$を求めよ．

(4)　$S_n$が正となる最小の$n$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{b}$によりそれぞれ定める．また，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AE}:\mathrm{AD}=t:1\text{（}0<t<1\text{）}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{BE}:\mathrm{BC}=s:1\text{（}0<s<1\text{）}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{OE}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(5)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}}$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$f^{\prime }(x)=x^2-1$を満たし，さらに$f(3)=6$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．

(4)　$g(x)={\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^3+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．

【４】　$k$と$l$を実数の定数とし，$x$に関する方程式

$x^4-2(k-l)x^2+(k^2+l^2-6k-8l)=0\cdots \text{①}$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$\text{①}$で$k=2\text{，}l=1$としたときの解を求めよ．

(2)　方程式$\text{①}$が実数解を持たないための必要十分条件を$k$と$l$で表せ．

(3)　方程式$\text{①}$の異なる実数解の個数が$3$つであるような実数の組$(k,l)$を座標平面上に図示せよ．

(4)　方程式$\text{①}$の異なる実数解の個数がただ$1$つであるような整数の組$(k,l)$をすべて求めよ．

【１】　次のような道路の図において，最も小さい正方形の$1$辺の長さは$1m$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで最短距離で行く経路は何通りあるかを求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで最短距離で行く経路のうち，$\mathrm{C}$地点を通らないものは何通りあるかを求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが$5m$以上であるものは何通りあるかを求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが$4m$以上であるものは何通りあるかを求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$と$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$において，次の関係式を考える．

$AX=XA\cdots \text{①}$

$X^3=X\cdots \text{②}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X$が$\text{①}$を満たすとき，$X$を$a$と$c$だけを用いて表せ．

(2)　$c=0$のとき，$\text{①}$と$\text{②}$を満たす$X$をすべて求めよ．

(3)　$c\ne 0$のとき，$\text{①}$と$\text{②}$を満たす$X$をすべて求めよ．

【３】　平面上に円$S$と$6$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$がある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$S$上の異なる$3$点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{A}$の側に延長した半直線上に点$\mathrm{D}$がある．$\angle \mathrm{CAD}$を二等分する直線$l$と円$S$は異なる$2$点で交わり，それらは$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$である．さらに，$\mathrm{E}$は$\mathrm{C}$を含まない$S$上の弧$\mathrm{AB}$上にある．また，$l$は線分$\mathrm{BC}$を$\mathrm{C}$の側に延長した半直線と交わり，その交点が$\mathrm{F}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　題意にしたがって，円$S\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$および点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を描け．

(2)　三角形$\mathrm{ACF}$と三角形$\mathrm{AEB}$が相似であることを証明せよ．

(3)　$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{EF}=\mathrm{EB}\cdot \mathrm{BF}$となることを証明せよ．

【４】　$xy$平面上の原点を中心として半径$1$の円$C$を考える．$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$C$上の点$(\cos \theta ,\sin \theta )$を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$で$C$に接し，さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし，その中心$\mathrm{Q}$の座標を$(u,v)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$としたとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡の式を求めよ．さらに，軌跡を図示せよ．

(3)　円$S$の面積を$D(\theta )$とするとき，次の値を求めよ．

$\underset{\theta \to \frac{\pi }{2}}{\lim }{\displaystyle \frac{D\left(\theta \right)}{{({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )}^2}}$