2010　九州大学　後期MathJax

【１】　直線$y=ax$（ただし$a$は正の実数）を$l$とし，曲線$y=f(x)$（ただし$x\geqq 0$）を$C$とする．曲線$C$が直線$l$の下側にあり，曲線$C$上の点$(t,f(t))$と直線$l$との距離が$a{t}^2$で表されるとき，以下の問いに答えよ．

1.　関数$f(x)$を求めよ．

2.　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

3.　$V$が最大となるように$a$の値を定めよ．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする．以下の問いに答えよ．

1.　線分$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ここで線分$\mathrm{AC}$の長さを$|\mathrm{AC}|$で表すとして，$|\mathrm{AC}|=12$および$|\mathrm{BC}|=5\sqrt{5}$とする．このとき，$|\mathrm{AQ}|>|\mathrm{BP}|$であることを示せ．

2.　$n$を正の整数，$r$を$0<r<1$をみたす実数とする．線分$\mathrm{AC}$を$1-r:r$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$1-r^n:r^n$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，線分$\mathrm{AF}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}n\text{，}r$を用いて表せ．

3.　2.において，$n$を固定して$r\to 1$としたとき，交点$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{AB}$上のある点$\mathrm{S}$に近づく．このとき，$|\mathrm{AS}|:|\mathrm{SB}|$を求めよ．

【３】　点$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$が，行列を用いて次のように与えられている．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& 1\\ {\displaystyle \frac{4}{9}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　以下の問いに答えよ．

1.　$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$のときの$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$を${\mathrm{P}}_n$とする．点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

2.　$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$のときの$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$を${\mathrm{Q}}_n$とする．点${\mathrm{Q}}_n$の座標を求めよ．

3.　$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}\right)$（ただし$k$は正の実数）のときの$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$を${\mathrm{R}}_n$とする．点${\mathrm{R}}_n$の座標を求めよ．

4.　点${\mathrm{R}}_n$と点${\mathrm{R}}_{n-1}$の間の距離を$|{\mathrm{R}}_n{\mathrm{R}}_{n-1}|$とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}|{\mathrm{R}}_n{\mathrm{R}}_{n-1}|$を求めよ．

【４】　表と裏の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつの硬貨を投げ，表なら$1$点，裏なら$0$点とする．$k\text{，}n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．

1.　硬貨を繰り返し投げ，得点の合計が$3$点に達したら終了することにする．ちょうど$5$回目で終了する確率はいくらか．また，ちょうど$n$回目で終了する確率を$q_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{q}_i=1-{\displaystyle \frac{n^2+n+2}{2^{n+1}}}$を証明せよ．

2.　硬貨を繰り返し投げ，得点の合計が$k$点に達したら終了することにする．ちょうど$n$回目で終了する確率を$p_k(n)$とする．$k$を固定したまま$n$を動かすときの$p_k(n)$の最大値を求めよ．

【５】　$n\text{，}N$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

1.　$k$を正の定数とし，関数$f(x)$は$f(x)=f(x+k)$をみたすとする．このとき，

$T_n={\displaystyle {\int }_{k(n-1)}^{kn}}{e}^{-x}f(x)dx\text{，}{S}_N={\displaystyle \sum _{n=1}^N}{T}_n$

とおく．$T_n$と$S_N$を$T_1$で表せ．

2.　1.において$f(x)\geqq 0$とする．このとき，$k$以上の実数$z$に対して

$S_N\leqq {\displaystyle {\int }_0^z}{e}^{-x}f(x)dx<S_{N+1}$

が成立するような$N$を求めよ．さらに，この不等式を用いて極限$\underset{z\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^z}{e}^{-x}f(x)dx$が存在することを示し，この極限を$T_1$で表せ．

3.　$h(x)=e^{-x}|\cos \pi x|$とする．$y=h(x)\text{，}x$軸，$y$軸および$x=z$で囲まれた部分の面積を$V(z)$とおく．$\underset{z\to \infty }{\lim }V(z)$を求めよ．