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2010-10848-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2010 九州工業大学 前期
工学部
配点100点
易□ 並□ 難□
【1】 行列
A=( a-b a2 ⁢aa+ b)
の定める移動( 1 次変換)
( x′ y′ )=A ⁢( xy )
を f とし,原点を通る 2 直線を l1 :y= m1⁢x , l2:y =m2 ⁢x とする ( m1< m2 ). 次に答えよ.
(ⅰ) f により,直線 l1 上の点 (1, m1 ) は l1 上の点に移り,直線 l2 上の点 (1, m2) は l2 上の点に移るとする. m1 , m2 を a ,b を用いて表せ.ただし, a>0 とする.
(ⅱ) 実数 a ,b が ( a-2) 2+ b2=3 をみたすとき, ba のとる値の範囲を求めよ.
(ⅲ) (ⅰ)で求めた m1 , m2 に対して 2 直線 l1 , l2 のなす角を θ とする (0< θ≦ π2 ) .実数 a ,b が ( a-2) 2+b 2=3 をみたすとき, cos⁡θ のとる値の範囲を求めよ.
2010-10848-0102
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【2】 O を原点とする座標空間の 2 点 A (0, 0,2) ,P( cos⁡θ, 2+sin⁡ θ,1) に対して,直線 AP 上の点で原点 O から最も近い点を Q (X, Y,Z) とする. 0≦θ ≦2⁢π として,次に答えよ.
(ⅰ) X ,Y ,Z を θ を用いて表せ.
(ⅱ) θ が 0 ,π ,3 2⁢ π のときの点 Q の位置ベクトルをそれぞれ a→ , b→ , c→ とする. 0≦θ ≦2⁢π のとき, OQ→ =s⁢ a→ +t⁢b →+u ⁢c→ をみたす実数 s ,t , u を θ を用いて表せ.また, s+t+ u の値を求めよ.
(ⅲ) 点 Q から xy 平面にひいた垂線と xy 平面の交点を R( X,Y,0 ) とする. θ が 0≦ θ≦2⁢ π の範囲を動くとき, xy 平面における点 R の軌跡を求めよ.
2010-10848-0103
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【3】 次に答えよ.
(ⅰ) 0≦x≦ π の範囲において, sin2⁡ x=sin2 ⁡( x+ π3 ) を解け.
(ⅱ) 曲線 y= sin2⁡ x( 0≦ x≦π ) と曲線 y= sin2⁡ ( x+ π3 ) (0 ≦x≦π ) で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2010-10848-0104
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【4】 次に答えよ.ただし,対数は自然対数とする.必要ならば, 1.09<log⁡ 3<1.10 を用いてよい.
(ⅰ) すべての x> 0 に対して,不等式
x- x22 <log⁡ (1+x )
が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 関数 f⁡ (x)= x- x23 -log⁡ (1+x ) の 0≦ x≦2 における最大値,および最小値を求めよ.
(ⅲ) 方程式 x- x 23 =log⁡( 1+x) は 0< x<2 の範囲に解を 1 つだけもつことを示せ.
(ⅳ) (ⅲ)における解を α (0 <α< 2) とする.曲線 y= x- x23 と曲線 y= log⁡(1 +x) で囲まれた図形( 0≦ x≦α の部分)の面積を S とする.また,曲線 y= x- x23 , 曲線 y= log⁡(1 +x) と直線 x= 2 で囲まれた図形( α ≦x≦2 の部分)の面積を T とする. S と T の大小を比較せよ.
2010-10848-0105
情報工学部
【1】 a を正の実数とする.また,対数は自然対数, e は自然対数の底を表す.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 不定積分 ∫ ⁡log⁡( a⁢x) ⁢dx を求めよ.
(ⅱ) 0<x< e の範囲で曲線 y= log⁡(a ⁢x) と直線 y= 1 とが交わるように, a の値の範囲を定めよ.
(ⅲ) a の値が(ⅱ)で求めた範囲にあるとする.座標平面において,曲線 y= log⁡(a ⁢x) と 2 直線 y= 0, x=e とで囲まれた図形のうち, y≦1 の部分の面積を S1 , y≧1 の部分の面積を S2 とする. S=S 1-S 2 を a を用いて表せ.
(ⅳ) a の値が(ⅱ)で求めた範囲にあるとする. S の最大値とそのときの a の値を求めよ.
2010-10848-0106
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
【2】 実数 a に対して行列 A を
A=( cos⁡2 ⁢θsin ⁡2⁢θ -sin⁡ 2⁢θ cos⁡2⁢ θ)
とする.また,実数 k (k >0 ) に対して, x ,y は
( xy )= A⁢( x y )+( 0 k )
を満たす.そして, x ,y ,k を用いて座標平面上の 2 点 P( x,y) ,Q (0,k ) を定める.原点を O とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 P の座標を k ,tan⁡θ を用いて表せ.
(ⅱ) ∠OPQ を θ を用いて表せ.
(ⅲ) ▵OPQ を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V⁡ (θ) を求めよ.
(ⅳ) (ⅲ)で求めた V⁡ (θ) について, limθ →+0 ⁡ θ 2⁢π ⁢ V⁡(θ ) を求めよ.
2010-10848-0107
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
【3】 点 O を原点,点 P を楕円 x216 + (y- 3)2 25=1 上の点とする. x 軸の正の部分を始線として動径 OP の表す角を θ (0 ≦θ≦2 ⁢π) とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 P の y 座標を a+b⁢ sin⁡θ c+d⁢ sin⁡θ ( a ,b ,c ,d は実数)の形で表せ.
(ⅱ) 点 P における楕円の接線を l とする.直線 l の方程式を求めよ.
(ⅲ) 点 A の座標を (0, 6) とする.点 A を(ⅱ)の直線 l に関して対称移動した点を Q とする.点 Q の座標を θ を用いて表せ.
2010-10848-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF13頁)へ
【4】 右図のように平面上に正六角形 ABCDEF がある.時刻 n (n =1, 2, 3 ,⋯ ) において動点 P は正六角形の 6 つの頂点のいずれかにあり,時刻 1 では頂点 A にあるものとする.時刻 n+ 1 には,時刻 n のときにあった頂点に隣り合う 2 つの頂点のいずれかに移動する.どちらの頂点に移動するかは同様に確からしいものとする.時刻 n において,動点 P が頂点 A ,B ,C , D, E, F にある確率をそれぞれ a n, bn , cn ,d n, en ,f n とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) a2 ,b2 , c2 ,d2 ,e 2, f2 を求めよ.
(ⅱ) a3 ,b3 , c3 ,d3 , e3 ,f3 を求めよ.
(ⅲ) n が偶数のとき, bn+ dn+ fn を求めよ.
(ⅳ) すべての時刻 n に対して, bn= fn および cn =en が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ.
(ⅴ) m を 1 以上の整数とするとき, d2⁢ m を m を用いて表せ.また, limm →∞ ⁡d 2⁢m を求めよ.