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2010 九州工業大学 前期

工学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【1】 行列

A=( a-b a2 aa+ b)

の定める移動( 1 次変換)

( x y )=A ( xy )

f とし,原点を通る 2 直線を l1 :y= m1x l2:y =m2 x とする m1< m2 ). 次に答えよ.

(ⅰ)  f により,直線 l1 上の点 (1, m1 ) l1 上の点に移り,直線 l2 上の点 (1, m2) l2 上の点に移るとする. m1 m2 a b を用いて表せ.ただし, a>0 とする.

(ⅱ) 実数 a b ( a-2) 2+ b2=3 をみたすとき, ba のとる値の範囲を求めよ.

(ⅲ) (ⅰ)で求めた m1 m2 に対して 2 直線 l1 l2 のなす角を θ とする (0< θ π2 ) .実数 a b ( a-2) 2+b 2=3 をみたすとき, cosθ のとる値の範囲を求めよ.

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工学部

配点100点

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【2】  O を原点とする座標空間の 2 A (0, 0,2) P( cosθ, 2+sin θ,1) に対して,直線 AP 上の点で原点 O から最も近い点を Q (X, Y,Z) とする. 0θ 2π として,次に答えよ.

(ⅰ)  X Y Z θ を用いて表せ.

(ⅱ)  θ 0 π 3 2 π のときの点 Q の位置ベクトルをそれぞれ a b c とする. 0θ 2π のとき, OQ =s a +tb +u c をみたす実数 s t u θ を用いて表せ.また, s+t+ u の値を求めよ.

(ⅲ) 点 Q から xy 平面にひいた垂線と xy 平面の交点を R( X,Y,0 ) とする. θ 0 θ2 π の範囲を動くとき, xy 平面における点 R の軌跡を求めよ.

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工学部

配点100点

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【3】 次に答えよ.

(ⅰ)  0x π の範囲において, sin2 x=sin2 ( x+ π3 ) を解け.

(ⅱ) 曲線 y= sin2 x 0 xπ と曲線 y= sin2 ( x+ π3 ) 0 xπ で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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工学部

配点100点

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【4】 次に答えよ.ただし,対数は自然対数とする.必要ならば, 1.09<log 3<1.10 を用いてよい.

(ⅰ) すべての x> 0 に対して,不等式

x- x22 <log (1+x )

が成り立つことを示せ.

(ⅱ) 関数 f (x)= x- x23 -log (1+x ) 0 x2 における最大値,および最小値を求めよ.

(ⅲ) 方程式 x- x 23 =log( 1+x) 0< x<2 の範囲に解を 1 つだけもつことを示せ.

(ⅳ) (ⅲ)における解を α 0 <α< 2 とする.曲線 y= x- x23 と曲線 y= log(1 +x) で囲まれた図形( 0 xα の部分)の面積を S とする.また,曲線 y= x- x23 曲線 y= log(1 +x) と直線 x= 2 で囲まれた図形( α x2 の部分)の面積を T とする. S T の大小を比較せよ.

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情報工学部

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【1】  a を正の実数とする.また,対数は自然対数, e は自然対数の底を表す.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 不定積分 log( ax) dx を求めよ.

(ⅱ)  0<x< e の範囲で曲線 y= log(a x) と直線 y= 1 とが交わるように, a の値の範囲を定めよ.

(ⅲ)  a の値が(ⅱ)で求めた範囲にあるとする.座標平面において,曲線 y= log(a x) 2 直線 y= 0 x=e とで囲まれた図形のうち, y1 の部分の面積を S1 y1 の部分の面積を S2 とする. S=S 1-S 2 a を用いて表せ.

(ⅳ)  a の値が(ⅱ)で求めた範囲にあるとする. S の最大値とそのときの a の値を求めよ.

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情報工学部

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【2】 実数 a に対して行列 A

A=( cos2 θsin 2θ -sin 2θ cos2 θ)

とする.また,実数 k k >0 に対して, x y

( xy )= A( x y )+( 0 k )

を満たす.そして, x y k を用いて座標平面上の 2 P( x,y) Q (0,k ) を定める.原点を O とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 点 P の座標を k tanθ を用いて表せ.

(ⅱ)  OPQ θ を用いて表せ.

(ⅲ)  OPQ x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V (θ) を求めよ.

(ⅳ) (ⅲ)で求めた V (θ) について, limθ +0 θ 2π V(θ ) を求めよ.

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情報工学部

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【3】 点 O を原点,点 P を楕円 x216 + (y- 3)2 25=1 上の点とする. x 軸の正の部分を始線として動径 OP の表す角を θ 0 θ2 π とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 点 P y 座標を a+b sinθ c+d sinθ a b c d は実数)の形で表せ.

(ⅱ) 点 P における楕円の接線を l とする.直線 l の方程式を求めよ.

(ⅲ) 点 A の座標を (0, 6) とする.点 A を(ⅱ)の直線 l に関して対称移動した点を Q とする.点 Q の座標を θ を用いて表せ.

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情報工学部

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2010年九州工業大前期情報工学部【4】の図

【4】 右図のように平面上に正六角形 ABCDEF がある.時刻 n n =1 2 3 において動点 P は正六角形の 6 つの頂点のいずれかにあり,時刻 1 では頂点 A にあるものとする.時刻 n+ 1 には,時刻 n のときにあった頂点に隣り合う 2 つの頂点のいずれかに移動する.どちらの頂点に移動するかは同様に確からしいものとする.時刻 n において,動点 P が頂点 A B C D E F にある確率をそれぞれ a n bn cn d n en f n とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  a2 b2 c2 d2 e 2 f2 を求めよ.

(ⅱ)  a3 b3 c3 d3 e3 f3 を求めよ.

(ⅲ)  n が偶数のとき, bn+ dn+ fn を求めよ.

(ⅳ) すべての時刻 n に対して, bn= fn および cn =en が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ.

(ⅴ)  m 1 以上の整数とするとき, d2 m m を用いて表せ.また, limm d 2m を求めよ.

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