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2010-10848-0201
2010 九州工業大学 後期
工学部
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 a1 =8 とする.サイコロを投げて出た目を b 1 とし, a2 を
a2= |a1 -b1 |
で定める.次にサイコロを投げて出た目を b 2 とし, a3 を
a3= |a2 -b2 |
で定める.次にサイコロを投げて出た目を b 3 とし, a4 を
a4 ={ |a 3-b3 |( a3 ≠0 のとき)0 ( a3=0 のとき)
で定める.同様にして, ak ( k≧4 ) が定まったとき,サイコロを投げて出た目を b k とし, ak+ 1 を
ak+ 1={ |ak -bk |( ak ≠0 のとき)0 ( ak=0 のとき)
で定める.
n≧2 に対して, an= 0 となる確率を p n とする.次に答えよ.
(ⅰ) b1= 6 ,b 2=5 , b3 =3 ,b 4=4 のとき, a2 , a3 , a4 , a5 を求めよ.
(ⅱ) p2 , p3 , p4 を求めよ.
(ⅲ) n≧4 のとき, pn を p n-1 を用いて表せ.
(ⅳ) n≧3 のとき,一般項 p n を求めよ.
2010-10848-0202
【2】 四面体 OABC は OA =1 ,OB= OC=2 ,∠ AOC=∠BOC =60⁢ ° をみたしている.線分 OA ,OB を s :1-s , t:1 -t に内分する点をそれぞれ L ,M とし,線分 BC を u :1-u に内分する点を N とする.ただし, 0<s< 1 ,0 <t<1 , 0<u <1 とする.また ▵ ABC ,▵ LMN の重心をそれぞれ G ,F とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ , ∠AOB= θ とおく. 0⁢ ° <θ<60 ⁢° として,次に答えよ.
(ⅰ) ON→ を b→ , c→ , および u を用いて表せ.また, OF→ を a→ , b→ , c→ , および s , t ,u を用いて表せ.
(ⅱ) OF→ は OF→= l⁢OG → をみたすとする.このとき, s ,t , u を l を用いて表せ.
(ⅲ) OF→ は OF→= l⁢OG → をみたすとする.このとき, LM→ ⊥MN → となる l をすべて求めよ.ただし,必要ならば θ を用いてよい.
2010-10848-0203
【3】 関数 f ⁡(x )=e x2+ e-x 2 ,g⁡ (x) =2⁢e -x2 について次に答えよ.
(ⅰ) 関数 f ⁡(x ) の増減を調べ,曲線 y =f⁡( x) の概形をかけ.
(ⅱ) 曲線 y =g⁡( x) と x 軸, y 軸,および直線 x =a ( a>0 ) で囲まれた図形の面積を S ⁡(a ) とする.極限値 lima→ ∞S⁡ (a ) を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)で求めた極限値を S とする.また, 2 曲線 y =f⁡( x) ,y= g⁡( x) , および直線 x =p ( p>0 ) で囲まれた図形の面積を T ⁡(p ) とする. T⁡( p)= 2⁢S のとき, p の値を求めよ.
2010-10848-0204
【4】 楕円 C1: x 24 + y23 =1 と放物線 C 2:y 2= 94⁢ x がある. 2 曲線 C1 ,C2 の交点のうち,第 1 象限にあるものを P とし,点 P における曲線 C 2 の接線を l とする.次に答えよ.
(ⅰ) 点 P の座標を求めよ.
(ⅱ) 接線 l の方程式を求めよ.また,接線 l と x 軸との交点 Q の座標を求めよ.
(ⅲ) 曲線 C2 , 接線 l , および x 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
(ⅳ) 連立不等式
{ x24 + y23 ≦1 y2≦ 94 ⁢ x
の表す図形の面積 S を求めよ.
2010-10848-0205
情報工学部
【1】 座標平面上の放物線 C :y= x2 と直線 l :y=k ⁢x ( k は実数)について,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 放物線 C と直線 l が異なる 2 つの交点をもつための k の条件を求めよ.
(ⅱ) k が(ⅰ)の条件を満たすとき,放物線 C と直線 l との 2 つの交点の x 座標を p , q ( p<q ) とする. p ,q が - 12 ≦p かつ q ≦3 2 となるための k の条件を求めよ.
(ⅲ) k が(ⅱ)の条件を満たすとき,放物線 C , 直線 l および y 軸に平行な 2 つの直線 x =- 12 , x= 32 によって囲まれてできる図形(例えば右図の斜線部分)の面積を k を用いて表せ.
(ⅳ) k が(ⅱ)の条件を満たすとき,(ⅲ)で求めた面積の最小値を求めよ.
2010-10848-0206
【2】 次の行列 A で表される移動を f とする.ただし, p は実数とする.
A=( 2 14 | p2- p-2 | )
以下の問いに答えよ.
(ⅰ) p の値により場合分けをして,関数 g ⁡(p )= |p 2-p -2 | の絶対値記号をはずせ.
(ⅱ) A が逆行列を持たないような p の値をすべて求めよ.
(ⅲ) A が逆行列を持たないとき,座標平面上のすべての点が移動 f によってある直線上の点に移る.その直線の方程式を求めよ.
(ⅳ) 直線 y =x 上のすべての点が移動 f によって直線 y =3⁢x 上の点に移るとき, p の値をすべて求めよ.
2010-10848-0207
【3】 座標平面上の曲線 C が,媒介変数 t ( t≧ 0 ) によって x =t⁢cos ⁡t ,y= t⁢sin⁡ t と表されているとする.自然数 n に対し t =n⁢π に対応する点を P n とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 曲線 C 上の点 ( t⁢cos⁡ t,t⁢ sin⁡t ) における接線の方程式を t ( t> 0 ) を用いて表せ.
(ⅱ) n を偶数とする.このとき,曲線 C 上の 2 点 Pn , P n+2 における接線の交点の座標を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)で求めた交点はすべてある放物線上にある.この放物線の方程式を求めよ.
2010-10848-0208
【4】 m 個の白玉と n 個の赤玉が入った袋がある.この袋から r 個の玉を 1 個ずつ取り出して,取り出した順に 1 列に並べるものとする.ただし r ≧2 ,m≧ r ,n ≧r とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 取り出して並べた r 個の玉がすべて白玉である確率を求めよ.
(ⅱ) 取り出して並べた r 個の玉の中で, 1 番目と 2 番目の 2 個の玉について, 2 個の玉がともに白玉である確率 pa , ともに赤玉である確率 pb , 互いに異なった色の玉である確率 p x をそれぞれ求めよ.
(ⅲ) m=4⁢ n, r=5 としたとき,取り出して並べた 5 個の玉の中で 1 個だけが赤玉である確率を p n とする. pn を n を用いて表せ.
(ⅳ) (ⅲ)で求めた p n に対して limn→ ∞p n を求めよ.