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2010 九州工業大学 後期

工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  a1 =8 とする.サイコロを投げて出た目を b 1 とし, a2

a2= |a1 -b1 |

で定める.次にサイコロを投げて出た目を b 2 とし, a3

a3= |a2 -b2 |

で定める.次にサイコロを投げて出た目を b 3 とし, a4

a4 ={ |a 3-b3 | a3 0 のとき)0 a3=0 のとき)

で定める.同様にして, ak k4 が定まったとき,サイコロを投げて出た目を b k とし, ak+ 1

ak+ 1={ |ak -bk | ak 0 のとき)0 ak=0 のとき)

で定める.

  n2 に対して, an= 0 となる確率を p n とする.次に答えよ.

(ⅰ)  b1= 6 b 2=5 b3 =3 b 4=4 のとき, a2 a3 a4 a5 を求めよ.

(ⅱ)  p2 p3 p4 を求めよ.

(ⅲ)  n4 のとき, pn p n-1 を用いて表せ.

(ⅳ)  n3 のとき,一般項 p n を求めよ.

2010 九州工業大学 後期

工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 四面体 OABC OA =1 OB= OC=2 AOC=BOC =60 ° をみたしている.線分 OA OB s :1-s t:1 -t に内分する点をそれぞれ L M とし,線分 BC u :1-u に内分する点を N とする.ただし, 0<s< 1 0 <t<1 0<u <1 とする.また ABC LMN の重心をそれぞれ G F とする. OA =a OB =b OC =c AOB= θ とおく. 0 ° <θ<60 ° として,次に答えよ.

(ⅰ)  ON b c および u を用いて表せ.また, OF a b c および s t u を用いて表せ.

(ⅱ)  OF OF= lOG をみたすとする.このとき, s t u l を用いて表せ.

(ⅲ)  OF OF= lOG をみたすとする.このとき, LM MN となる l をすべて求めよ.ただし,必要ならば θ を用いてよい.

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工学部

配点75点

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【3】 関数 f (x )=e x2+ e-x 2 g (x) =2e -x2 について次に答えよ.

(ⅰ) 関数 f (x ) の増減を調べ,曲線 y =f( x) の概形をかけ.

(ⅱ) 曲線 y =g( x) x 軸, y 軸,および直線 x =a a>0 で囲まれた図形の面積を S (a ) とする.極限値 lima S (a ) を求めよ.

(ⅲ) (ⅱ)で求めた極限値を S とする.また, 2 曲線 y =f( x) y= g( x) および直線 x =p p>0 で囲まれた図形の面積を T (p ) とする. T( p)= 2S のとき, p の値を求めよ.

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工学部

配点75点

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【4】 楕円 C1 x 24 + y23 =1 と放物線 C 2y 2= 94 x がある. 2 曲線 C1 C2 の交点のうち,第 1 象限にあるものを P とし,点 P における曲線 C 2 の接線を l とする.次に答えよ.

(ⅰ) 点 P の座標を求めよ.

(ⅱ) 接線 l の方程式を求めよ.また,接線 l x 軸との交点 Q の座標を求めよ.

(ⅲ) 曲線 C2 接線 l および x 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

(ⅳ) 連立不等式

{ x24 + y23 1 y2 94 x

の表す図形の面積 S を求めよ.

2010 九州工業大学 後期

情報工学部

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2010年九州工業大後期情報工学部【1】の図

【1】 座標平面上の放物線 C y= x2 と直線 l y=k x k は実数)について,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 放物線 C と直線 l が異なる 2 つの交点をもつための k の条件を求めよ.

(ⅱ)  k が(ⅰ)の条件を満たすとき,放物線 C と直線 l との 2 つの交点の x 座標を p q p<q とする. p q - 12 p かつ q 3 2 となるための k の条件を求めよ.

(ⅲ)  k が(ⅱ)の条件を満たすとき,放物線 C 直線 l および y 軸に平行な 2 つの直線 x =- 12 x= 32 によって囲まれてできる図形(例えば右図の斜線部分)の面積を k を用いて表せ.

(ⅳ)  k が(ⅱ)の条件を満たすとき,(ⅲ)で求めた面積の最小値を求めよ.

2010 九州工業大学 後期

情報工学部

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【2】 次の行列 A で表される移動を f とする.ただし, p は実数とする.

A=( 2 14 | p2- p-2 | )

 以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  p の値により場合分けをして,関数 g (p )= |p 2-p -2 | の絶対値記号をはずせ.

(ⅱ)  A が逆行列を持たないような p の値をすべて求めよ.

(ⅲ)  A が逆行列を持たないとき,座標平面上のすべての点が移動 f によってある直線上の点に移る.その直線の方程式を求めよ.

(ⅳ) 直線 y =x 上のすべての点が移動 f によって直線 y =3x 上の点に移るとき, p の値をすべて求めよ.

2010 九州工業大学 後期

情報工学部

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2010年九州工業大後期情報工学部【3】の図

【3】 座標平面上の曲線 C が,媒介変数 t t 0 によって x =tcos t y= tsin t と表されているとする.自然数 n に対し t =nπ に対応する点を P n とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 曲線 C 上の点 ( tcos t,t sint ) における接線の方程式を t t> 0 を用いて表せ.

(ⅱ)  n を偶数とする.このとき,曲線 C 上の 2 Pn P n+2 における接線の交点の座標を求めよ.

(ⅲ) (ⅱ)で求めた交点はすべてある放物線上にある.この放物線の方程式を求めよ.

2010 九州工業大学 後期

情報工学部

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【4】  m 個の白玉と n 個の赤玉が入った袋がある.この袋から r 個の玉を 1 個ずつ取り出して,取り出した順に 1 列に並べるものとする.ただし r 2 m r n r とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 取り出して並べた r 個の玉がすべて白玉である確率を求めよ.

(ⅱ) 取り出して並べた r 個の玉の中で, 1 番目と 2 番目の 2 個の玉について, 2 個の玉がともに白玉である確率 pa ともに赤玉である確率 pb 互いに異なった色の玉である確率 p x をそれぞれ求めよ.

(ⅲ)  m=4 n r=5 としたとき,取り出して並べた 5 個の玉の中で 1 個だけが赤玉である確率を p n とする. pn n を用いて表せ.

(ⅳ) (ⅲ)で求めた p n に対して limn p n を求めよ.

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