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2010-11001-0101
2010 札幌医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,h を正の定数とし, 0°<θ <120° とする.空間内に 3 点 A (a, 0,0) ,B (- a2 , 3⁢ a2 ,0 ), C( -a 2,- 3 ⁢a2 ,0 ) がある. xy 平面上で, 3 点 A , B ,C を原点中心に θ だけ回転させた点をそれぞれ D , E ,F とする.さらに 3 点 D ,E , F を z 軸方向に h だけ平行移動した点をそれぞれ X , Y ,Z とする.
(1) 点 D と,直線 AB の距離を a と θ を用いて表せ.
(2) 三角形 ABX の面積が最大となるときの θ を求め,そのときの面積を a と h を用いて表せ.
(3) 下面が三角形 ABC , 上面が三角形 XYZ , 側面が 6 つの三角形 AXZ , BYX ,CZY , XAB ,YBC , ZCA であるような立体を考える.(2)で求めた θ に対して,この立体の体積を a と h を用いて表せ.
2010-11001-0102
【2】 1 から n までの自然数が書かれたカードが 1 枚ずつある.この中から無作為に 2 枚のカードを同時に取り出し,小さい方の自然数を a , 大きい方の自然数を b とする.ただし n は 2 以上の自然数とする.
(1) k を 1≦ k≦n をみたす自然数とするとき, a=k となる確率を k と n を用いて表せ.
(2) a の期待値を n を用いて表せ.
(3) b の期待値を n を用いて表せ.
(4) b-a の期待値を n を用いて表せ.
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【3】 a ,b を正の定数とする.平面上において (-a ,0) を中心とする円 C1 と, (b,0 ) を中心とする円 C2 が,原点 O で外接している.また, P を円 C1 上の点とし, Q を円 C 2 上の点とする.ただし 2 点 P , Q は x 軸上にないものとする.
(1) P と Q が x 軸に対して同じ側にあるとき,三角形 OPQ の面積の最大値を a ,b を用いて表せ.
(2) P と Q が x 軸に対して異なる側にあるとき,三角形 OPQ の面積の最大値を a ,b を用いて表せ.ただし 3 点 O , P ,Q は同一直線上にないものとする.
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【4】 整数 n に対して, an を次式で定義する.
an= ∫ 0π4 ⁡ (cos⁡x )n⁢ dx
(1) a-2 と a -1 を求めよ.
(2) n⁢an =2 -n2 +(n -1)⁢ an- 2 が成り立つことを示せ.
(3) a2⁢ n= bn+π ⁢cn (ただし bn , cn は有理数)と表されることを示せ.また n< 0 のときの cn を求めよ。必要ならば π が無理数であることを用いて良い.