2010　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}h$を正の定数とし，$0°<\theta <120°$とする．空間内に$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}},0)\text{，}\mathrm{C}(-{\displaystyle \frac{a}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}},0)$がある．$xy$平面上で，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を原点中心に$\theta$だけ回転させた点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．さらに$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を$z$軸方向に$h$だけ平行移動した点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$とする．

(1)　点$\mathrm{D}$と，直線$\mathrm{AB}$の距離を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABX}$の面積が最大となるときの$\theta$を求め，そのときの面積を$a$と$h$を用いて表せ．

(3)　下面が三角形$\mathrm{ABC}\text{，}$上面が三角形$\mathrm{XYZ}\text{，}$側面が$6$つの三角形$\mathrm{AXZ}\text{，}\mathrm{BYX}\text{，}\mathrm{CZY}\text{，}\mathrm{XAB}\text{，}\mathrm{YBC}\text{，}\mathrm{ZCA}$であるような立体を考える．(2)で求めた$\theta$に対して，この立体の体積を$a$と$h$を用いて表せ．

【２】　$1$から$n$までの自然数が書かれたカードが$1$枚ずつある．この中から無作為に$2$枚のカードを同時に取り出し，小さい方の自然数を$a\text{，}$大きい方の自然数を$b$とする．ただし$n$は$2$以上の自然数とする．

(1)　$k$を$1\leqq k\leqq n$をみたす自然数とするとき，$a=k$となる確率を$k$と$n$を用いて表せ．

(2)　$a$の期待値を$n$を用いて表せ．

(3)　$b$の期待値を$n$を用いて表せ．

(4)　$b-a$の期待値を$n$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}b$を正の定数とする．平面上において$(-a,0)$を中心とする円$C_1$と，$(b,0)$を中心とする円$C_2$が，原点$\mathrm{O}$で外接している．また，$\mathrm{P}$を円$C_1$上の点とし，$\mathrm{Q}$を円${\mathrm{C}}_2$上の点とする．ただし$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は$x$軸上にないものとする．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$x$軸に対して同じ側にあるとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$x$軸に対して異なる側にあるとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を$a\text{，}b$を用いて表せ．ただし$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同一直線上にないものとする．

【４】　整数$n$に対して，$a_n$を次式で定義する．

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{(\cos x)}^{n}dx$

(1)　$a_{-2}$と$a_{-1}$を求めよ．

(2)　$n{a}_n=2^{-\frac{n}{2}}+(n-1)a_{n-2}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_{2n}=b_n+\pi c_n$（ただし$b_n\text{，}{c}_n$は有理数）と表されることを示せ．また$n<0$のときの$c_n$を求めよ。必要ならば$\pi$が無理数であることを用いて良い．