Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2010年度一覧へ
大学別一覧へ
首都大東京一覧へ
2010-11261-0101
2010 首都大学東京 前期
人文・社会系,経営学系
易□ 並□ 難□
【1】 3 個のさいころを同時に投げる試行において,出る目の和を S とする.このとき,以下の問いに答えなさい.答えのみでなく,理由も述べなさい.
(1) S=7 となる確率を求めなさい.
(2) S≧7 となる確率を求めなさい.
(3) S≦5 または S≧ 16 なら 3000 円, 6≦S≦ 15 なら 300 円の賞金が得られるものとする.このとき,得られる賞金額の期待値を求めなさい.
2010-11261-0102
【2】 原点を O とする座標平面上のベクトル OA → と OB → は | OA→ | =17 , | OB→ |= 10 を満たし, OA→ と OB → のなす角 θ が cos⁡ θ=- 13 170 を満たしている.ベクトル u → ,v → を u →= OA→+ OB→ 2 ,v →= OA →- OB→ 2 で定める.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 長さ | u→ |, |v → | と内積 u→ ⋅v → を求めなさい.
(2) 実数 t に対して OP →=t ⁢u→ +(1- t)⁢ v→ とおく.長さ | OP→ | を最小にする t の値を求めなさい.また,そのときの長さ | OP→ | を求めなさい.
2010-11261-0103
【3】 実数 a ,b ,c ,d に対し x の 3 次の整式 P⁡ (x) =a⁢x 3+b⁢ x2+ c⁢x+d を考える.ただし, a⁢d≠ 0 とする.方程式 P⁡ (x)= 0 の 3 つの解を α ,β , γ とすると P⁡ (x)= a⁢(x -α)⁢ (x-β )⁢(x -γ) であることが知られている.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 積 α⁢ β⁢γ , 和 α+ β+γ , 1α + 1β+ 1γ を,それぞれ a ,b , c, d を用いて表しなさい.
(2) もし α が実数でないならば,方程式 P⁡ (x)= 0 は α の共役な複素数 α ‾ を解に持つことを証明しなさい.
(3) 解 α ,β ,γ のうち実数となるものの個数は 0 ,1 ,2 ,3 のどれか,考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
(4) もし a⁢ d>0 ならば,解 α ,β ,γ のうち正の実数となるものの個数は 0 ,1 , 2, 3 のどれか,考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
2010-11261-0104
【4】 実数 a が 12≦ a≦ 32 を動くとき,
S⁡(a )= ∫aa +1 ⁡| (3⁢x -4)⁢ (x-4 )| ⁢dx
を最小にする a の値を求めなさい.
2010-11261-0105
都市教養,都市環境,システムデザイン,
健康福祉(放射線)学部
【1】 行列 A= ( 41 -1 2 ) に対して,以下の問いに答えなさい.
(1) 行列 P= ( 10 -1 1 ) に対して, P-1 ⁢A⁢ P を求めなさい.
(2) a を実数とし, T=( a 10 a ) としたとき,任意の自然数 n に対して,行列 Tn を求め,その理由も述べなさい.
(3) 任意の自然数 n に対して,行列 An を求めなさい.
2010-11261-0106
【2】 以下の問いに答えなさい.
(1) s を 0≦ s≦2 を満たす実数とする.直線 y= x と直線 y= -x+2 ⁢s の交点を P とする.直線 y= -x+2 ⁢s と曲線 y= -x2+ 2⁢x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし, Q の x 座標を t とする.このとき,点 P と点 Q の距離および s を, t を用いて表しなさい.
(2) 直線 y= x と曲線 y= -x2 +2⁢x で囲まれた図形を直線 y= x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい.
2010-11261-0107
【3】 整数の値をとる整数 n の関数 f⁡ (n) ,g⁡( n) を
f⁡(n )= 12⁢ n⁢ (n+1 ),g ⁡(n) =(- 1)n
で定め,その合成関数を h⁡ (n)= g⁡(f ⁡(n) ) とする.さらに, 1 つのさいころを 4 回振って,出た目の数を順に j ,k , l, m として, a= h⁡(j ), b=h⁡ (k) ,c= h⁡(l ), d=h⁡ (m) とおき,関数
P⁡(x )=a⁢ x3- 3⁢b⁢ x2+ 3⁢c⁢ x-d
を考える.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) n=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 に対して, h⁡(n ) の値を求めなさい.
(2) P⁡(x ) がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい.
(3) P⁡(x ) が点 (1, P⁡(1 )) を変曲点に持つ関数になる確率を求めなさい.
(4) P⁡(x ) が P⁡ (1)= P′⁡ (1)= P″⁡ (1)= 0 を満たす関数になる確率を求めなさい.
2010-11261-0108
都市教養(数理科学)学部
【1】 以下の問いに答えなさい.
(1) 任意の整数 m に対して, m2 を 3 で割ると余りは 0 または 1 になることを示しなさい.
(2) 整数 a ,b ,c が a2 +b2 =c2 を満たしているとすると,積 a⁢ b は 12 で割り切れることを示しなさい.
2010-11261-0109
【2】 長さ 2 の線分 AB を直径とする半円周を点 A= P0 ,P 1, ⋯ , Pn- 1 ,P n=B で n 等分する.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 三角形 AP kB の三辺の長さの和 AP k+P kB+BA を ln ⁡(k ) とおく. ln ⁡(k ) を求めなさい.
(2) 極限値 α= limn→ ∞⁡ ln⁡ (1) +ln ⁡(2 )+⋯ +ln ⁡(n )n を求めなさい.
2010-11261-0110
【3】 同一平面上にない 4 点 O ,A ,B ,C に対して, OA→ =a → , OB →= b→ , OC→ =c → とおく.点 A ,B , C を含む平面上に点 D をとる.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) OD→ =x⁢ a→+ y⁢b →+z ⁢c→ と表すとき,実数 x ,y ,z が満たすべき条件を求めなさい.
(2) 4 点 A ,B ,C ,D は四角形 ABCD をなし,次の条件
a→ ⊥b→ , b→ ⊥c→ , c→ ⊥a→ ,
|a →| =|b →| =|c →| =1 , | OD→ |= 172
を満たすとする.その辺 AB ,BC ,CD ,DA の中点をそれぞれ P ,Q , R, S とし,四角形 PQRS が長方形をなすとする.ただし,四角形 PQRS は四角形 ABCD に含まれるものとする.このとき, x ,y , z の値を求めなさい.