2010　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えのみでなく，理由も述べなさい．

(1)　$S=7$となる確率を求めなさい．

(2)　$S\geqq 7$となる確率を求めなさい．

(3)　$S\leqq 5$または$S\geqq 16$なら$3000$円，$6\leqq S\leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{17}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{13}{\sqrt{170}}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を$\overrightarrow{u}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}}\text{，}\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　長さ$\left|\overrightarrow{u}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{v}\right|$と内積$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．

(2)　実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めなさい．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対し$x$の$3$次の整式$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を考える．ただし，$ad\ne 0$とする．方程式$P(x)=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とすると$P(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　積$\alpha \beta \gamma \text{，}$和$\alpha +\beta +\gamma \text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$を，それぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表しなさい．

(2)　もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x)=0$は$\alpha$の共役な複素数$\bar{\alpha }$を解に持つことを証明しなさい．

(3)　解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$のうち実数となるものの個数は$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．

(4)　もし$ad>0$ならば，解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．

【４】　実数$a$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$を動くとき，

$S(a)={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}|(3x-4)(x-4)|dx$

を最小にする$a$の値を求めなさい．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$に対して，$P^{-1}AP$を求めなさい．

(2)　$a$を実数とし，$T=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right)$としたとき，任意の自然数$n$に対して，行列$T^n$を求め，その理由も述べなさい．

(3)　任意の自然数$n$に対して，行列$A^n$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$s$を$0\leqq s\leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y=x$と直線$y=-x+\sqrt{2}s$の交点を$\mathrm{P}$とする．直線$y=-x+\sqrt{2}s$と曲線$y=-x^2+2x$の交点で$x$座標が$1$以下である点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とする．このとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．

(2)　直線$y=x$と曲線$y=-x^2+2x$で囲まれた図形を直線$y=x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

【３】　整数の値をとる整数$n$の関数$f(n)\text{，}g(n)$を

$f(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\text{，}g(n)={(-1)}^n$

で定め，その合成関数を$h(n)=g(f(n))$とする．さらに，$1$つのさいころを$4$回振って，出た目の数を順に$j\text{，}k\text{，}l\text{，}m$として，$a=h(j)\text{，}b=h(k)\text{，}c=h(l)\text{，}d=h(m)$とおき，関数

$P(x)=a{x}^3-3b{x}^2+3cx-d$

を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$に対して，$h(n)$の値を求めなさい．

(2)　$P(x)$がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．

(3)　$P(x)$が点$(1,P(1))$を変曲点に持つ関数になる確率を求めなさい．

(4)　$P(x)$が$P(1)=P^{\prime }(1)=P^{″}(1)=0$を満たす関数になる確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　任意の整数$m$に対して，$m^2$を$3$で割ると余りは$0$または$1$になることを示しなさい．

(2)　整数$a\text{，}b\text{，}c$が$a^2+b^2=c^2$を満たしているとすると，積$ab$は$12$で割り切れることを示しなさい．

【２】　長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A}={\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n=\mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k\mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k+{\mathrm{P}}_k\mathrm{B}+\mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．

(2)　極限値$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{l_n(1)+l_n(2)+\cdots +l_n(n)}{n}}$を求めなさい．

【３】　同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x\text{，}y\text{，}z$が満たすべき条件を求めなさい．

(2)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}\text{，}$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{2}}}$

を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めなさい．