2010　首都大学東京　後期MathJax

【１】　定数$a\text{，}b$に対し，$x$の$3$次の整式$(x-2)(x^2+ax+b)$の$x$および$x^2$の係数はともに$0$とする．また，$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$に対し，$c_n={\alpha }^n+{\beta }^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で数列$\{c_n\}$を定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　定数$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　項$c_1\text{，}{c}_2\text{，}{c}_3$を求めなさい．

(3)　一般項$c_n$を虚数を用いないで表しなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}\text{，}\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{L}$を$\overrightarrow{\mathrm{IL}}=\overrightarrow{\mathrm{BJ}}$を満たすようにとる．このとき，三角形$\mathrm{AIL}$の辺の長さの和は辺$\mathrm{AL}\text{，}\mathrm{BJ}\text{，}\mathrm{CK}$の長さの和に等しいことを示しなさい．

(2)　辺$\mathrm{IL}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となることを示しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{AIL}$の面積の比を求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$を初項$a_1=1\text{，}$漸化式$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\text{（}n\geqq 1\text{）}$により定義する．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$1\leqq a_n<2$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　すべての自然数$n$に対して，

$2-a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}}}(2-a_n)$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$が収束することを示し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$t$が$-1<t<1$を満たすとき，座標平面上にある$3$点$(1,0)\text{，}(t,\sqrt{1-t^2})\text{，}(t,-\sqrt{1-t^2})$を頂点とする二等辺三角形の面積を最大にする$t$の値を求めなさい．

(2)　半径$1$の円周に内接する三角形のうち，面積が最大となるのは，正三角形のときであることを示しなさい．ただし，面積が最大tごなる三角形が存在することを証明なしで使ってもよい．

(3)　$t$が$-1<t<1$を満たすとき，問(1)の三角形を$x$軸の回りに回転させてできる円錐の体積の最大値とそのときの$t$の値を求めなさい．

(4)　半径$1$の球面上に$4$頂点をもつ四面体の体積が最大となるのは，正四面体のときであることを示し，その体積を求めなさい．ただし，体積が最大となる四面体が存在することを証明なしで使ってもよい．