Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2010年度一覧へ
大学別一覧へ
横市大一覧へ
2010-11311-0101
2010 横浜市立大 前期
医学部医学科
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ。
(1) 4 次方程式
a⁢x4 +b⁢ x3+ c⁢x2 +d⁢x +e=0
を考える.ただし, a ,b ,c ,d ,e は定数で, a≠0 とする. x=t+ α ( α は定数)とおいて, t に関する 4 次方程式
t4+ C⁢t2 +D⁢t +E=0
の形にする.このとき D= 0 となる条件式を a ,b ,c ,d を用いて表せ.
2010-11311-0102
(2) R を正の実数とする.極限値
limR→ ∞⁡ ∫1 R2 ⁡ e-x 2⁢ dx
を求めよ.
2010-11311-0103
(3) 地震のエネルギー( E )とマグニチュード( M )の間には
log10⁡ E=4.8+1.5 ⁢M
の関係がある(単位系は省略). 2009 年 8 月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは 6.5 であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは 8 程度と想定されており,それを 8.0 と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを Es , 東海地震のそれを ET とおき
E TES
を求めよ.簡単のために近似値 10 3≒2 10, 2 ≒1.41 を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
2010-11311-0104
【2】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 2 の円を C とする. O を始点とする半直線上の二点 P ,Q について OP ⋅OQ= 4 が成立するとき, P と Q は C に関して対称であるという(右の図では, P は C の内側に取ってある).以下の問いに答えよ.
(1) 点 P( x,y) の C に関して対称な点 Q の座標を x ,y を用いて表せ.
(2) 点 P( x,y) が原点を除いた曲線
(x- 2)2 +(y -3) 2=13 , (x,y )≠(0 ,0)
上を動くとき, Q の軌跡を求めよ.
2010-11311-0105
【3】 n は自然数とする. 1 以上の実数 a ,d と正の実数 b ,c を成分とする行列
A=( a bc d )
に対し, n 個の積 An を
An= ( an bn cn dn ) ,A1 =A
とおく.また, 0<v≦ u をみたす実数 u ,v と正の実数 λ に対して, A は等式
A⁢( u v )=λ ⁢( u v )
をみたすとする.以下の問いに答えよ.
(1) 不等式
(1 +v u) ⁢λ n≦a n+b n+c n+d n≦ (1+ uv ) ⁢λn
を示せ.
(2) M を 1+ 1 b と 1+ 1c の大きい方( b= c の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式
an+ bn+ cn+ dn< M⁢( an+1 +d n+1 )
(3) 数列
{ 1n⁢ log⁡ (a n+d n) }
の極限値を求めよ.
2010-11311-0106
理系のための備忘録さんの解答へ
【4】 a>0 とする.以下の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ a をみたす x に対して
1+x≦ ex≦ 1+ ea- 1a ⁢x
(2) (1)を用いて
1+a+ a 22 <ea <1+ a2 ⁢( ea+ 1)
(3) (2)を用いて
2.64<e< 2.78