2010 横浜市立大 前期医学科MathJax

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2010 横浜市立大 前期

医学部医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ。

(1)  4 次方程式

ax4 +b x3+ cx2 +dx +e=0

を考える.ただし, a b c d e は定数で, a0 とする. x=t+ α α は定数)とおいて, t に関する 4 次方程式

t4+ Ct2 +Dt +E=0

の形にする.このとき D= 0 となる条件式を a b c d を用いて表せ.

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【1】 以下の問いに答えよ。

(2)  R を正の実数とする.極限値

limR 1 R2 e-x 2 dx

を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ。

(3) 地震のエネルギー( E )とマグニチュード( M )の間には

log10 E=4.8+1.5 M

の関係がある(単位系は省略). 2009 8 月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは 6.5 であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは 8 程度と想定されており,それを 8.0 と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを Es 東海地震のそれを ET とおき

E TES

を求めよ.簡単のために近似値 10 32 10 2 1.41 を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.

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2010年横浜市立大前期【2】の図

【2】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 2 の円を C とする. O を始点とする半直線上の二点 P Q について OP OQ= 4 が成立するとき, P Q C に関して対称であるという(右の図では, P C の内側に取ってある).以下の問いに答えよ.

(1) 点 P( x,y) C に関して対称な点 Q の座標を x y を用いて表せ.

(2) 点 P( x,y) が原点を除いた曲線

(x- 2)2 +(y -3) 2=13 (x,y )(0 ,0)

上を動くとき, Q の軌跡を求めよ.

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【3】  n は自然数とする. 1 以上の実数 a d と正の実数 b c を成分とする行列

A=( a bc d )

に対し, n 個の積 An

An= ( an bn cn dn ) A1 =A

とおく.また, 0<v u をみたす実数 u v と正の実数 λ に対して, A は等式

A( u v )=λ ( u v )

をみたすとする.以下の問いに答えよ.

(1) 不等式

(1 +v u) λ na n+b n+c n+d n (1+ uv ) λn

を示せ.

(2)  M 1+ 1 b 1+ 1c の大きい方( b= c の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式

an+ bn+ cn+ dn< M( an+1 +d n+1 )

を示せ.

(3) 数列

{ 1n log (a n+d n) }

の極限値を求めよ.

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【4】  a>0 とする.以下の問いに答えよ.

(1)  0x a をみたす x に対して

1+x ex 1+ ea- 1a x

を示せ.

(2) (1)を用いて

1+a+ a 22 <ea <1+ a2 ( ea+ 1)

を示せ.

(3) (2)を用いて

2.64<e< 2.78

を示せ.

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