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2010-11491-0301
2010 名古屋市立大 中期
薬学部
易□ 並□ 難□
【1】 じゃんけんについて次の問いに答えよ.ただし,全員がグー,チョキ,パーを無作為に出すとする.
(1) A ,B の 2 人がじゃんけんをする.あいこのときは繰り返すが,ジャンケンの回数は最大 n 回とする.このとき A が勝つ確率を求めよ.
(2) A ,B ,C の 3 人がじゃんけんをする. 1 回目は 3 人で始め,負けた者は抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが,じゃんけんの回数は最大 n 回とする.このとき A ひとりが勝ち残る確率を求めよ.
2010-11491-0302
【2】 xy 平面上に,原点 O を中心とする半径 1 の円 C があり,点 P は円 C の周上を動く.また点 P を中心とする半径 r の円 D の周上には点 Q がある.いま,点 P が点 (1, 0) から円 C 上を反時計回りに動き,同時に点 Q は点 (1 +r,0 ) から円 D 上を時計回りに動く.ただし,点 P は円 C 上で,点 Q は円 D 上でともに等速円運動を行い,点 P が円 C を一周したとき点 Q も円 D を一周する.次の問いに答えよ.
(1) 点 P が円 C を一周したとき,点 Q の軌跡はどのような図形になるか,図示せよ.
(2) (1)の図形を y 軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積 V を r の関数として表し,そのグラフの概形を描け.
2010-11491-0303
【3】 一辺の長さが 2⁢ a の正方形 ABCD を底面とする高さ h の正四角錐 O‐ ABCD がある.ここで,辺 OA , OB, OC ,OD の長さはすべて等しい.正四角錐 O‐ ABCD に内接する球を Q1 とし,また正四角錐 O‐ ABCD の 4 つの側面と Q1 に接する球を Q2 とする.
以下同様にして球 Q3 , Q4 , ⋯, Qn をつくる.次の問いに答えよ.
(1) 球 Q1 の半径 r1 を求めよ.
(2) 球 Q k+1 の半径 r k+1 を球 Qk の半径 rk で示せ.
(3) 球 Qn の体積を a ,h ,n で示せ.
(4) h=2⁢ 2⁢ a のとき,球 Q1 , Q2 ,Q3 , ⋯, Qn の体積の和を a ,n で示せ.