2010 名古屋市立大 中期MathJax

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2010 名古屋市立大 中期

薬学部

易□ 並□ 難□

【1】 じゃんけんについて次の問いに答えよ.ただし,全員がグー,チョキ,パーを無作為に出すとする.

(1)  A B 2 人がじゃんけんをする.あいこのときは繰り返すが,ジャンケンの回数は最大 n 回とする.このとき A が勝つ確率を求めよ.

(2)  A B C 3 人がじゃんけんをする. 1 回目は 3 人で始め,負けた者は抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが,じゃんけんの回数は最大 n 回とする.このとき A ひとりが勝ち残る確率を求めよ.

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薬学部

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上に,原点 O を中心とする半径 1 の円 C があり,点 P は円 C の周上を動く.また点 P を中心とする半径 r の円 D の周上には点 Q がある.いま,点 P が点 (1, 0) から円 C 上を反時計回りに動き,同時に点 Q は点 (1 +r,0 ) から円 D 上を時計回りに動く.ただし,点 P は円 C 上で,点 Q は円 D 上でともに等速円運動を行い,点 P が円 C を一周したとき点 Q も円 D を一周する.次の問いに答えよ.

(1) 点 P が円 C を一周したとき,点 Q の軌跡はどのような図形になるか,図示せよ.

(2) (1)の図形を y 軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積 V r の関数として表し,そのグラフの概形を描け.

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薬学部

易□ 並□ 難□

【3】 一辺の長さが 2 a の正方形 ABCD を底面とする高さ h の正四角錐 O ABCD がある.ここで,辺 OA OB OC OD の長さはすべて等しい.正四角錐 O ABCD に内接する球を Q1 とし,また正四角錐 O ABCD 4 つの側面と Q1 に接する球を Q2 とする.

 以下同様にして球 Q3 Q4 Qn をつくる.次の問いに答えよ.

(1) 球 Q1 の半径 r1 を求めよ.

(2) 球 Q k+1 の半径 r k+1 を球 Qk の半径 rk で示せ.

(3) 球 Qn の体積を a h n で示せ.

(4)  h=2 2 a のとき,球 Q1 Q2 Q3 Qn の体積の和を a n で示せ.

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