2010　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　正の実数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，$n\geqq 3$について

$a_n={\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}}\text{，}{b}_n=\sqrt{b_{n-1}{b}_{n-2}}$

をみたすものとする．次の問いに答えよ．

問１　$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．

問２　$n\geqq 3$について$a_n$を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}n$を用いて表せ．

問３　$b_1=1\text{，}{b}_2=2$のとき，$n\geqq 3$について${\log }_2{b}_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　実数$r$に対し，$n\leqq r<n+1$となる整数$n$を$[r]$と表すことにする．正の整数$m$について，$f(m)=[m-{\log }_2(m+1)]$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$m+1=2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1)=f(m)$となることを示せ．

問２　$m+1=2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1)=f(m)+1$となることを示せ．

【３】　$a\text{，}b$を正の実数とし，座標平面上の放物線$C:y=a{x}^2+b$を考える．$t\text{，}s$は正の実数とし，点$\mathrm{P}(t,a{t}^2+b)$における$C$の接線を$l_{\mathrm{P}}\text{，}$点$\mathrm{Q}(s,a{s}^2+b)$における$C$の接線を$l_{\mathrm{Q}}$で表す．$l_{\mathrm{P}}$は原点を通っているとする．次の問いに答えよ．

問１　$l_{\mathrm{P}}$の傾きが$1$未満となるための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

問２　$l_{\mathrm{P}}$の傾きは$1$未満とし，$l_{\mathrm{P}}$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す．$\mathrm{Q}$を$l_{\mathrm{Q}}$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき，$l_{\mathrm{Q}}$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ．

問３　$a\text{，}b$が$a+b={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすとき，$l_{\mathrm{P}}$の傾きは$1$未満であることを示せ．

問４　$a\text{，}b$は$a+b={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすものとし，$\mathrm{Q}$を問２のようにとる．$l_{\mathrm{Q}}$の傾きが最大になるような$a\text{，}b$を求めよ．

【４】　確率$p$で表がでるコインが$2$枚ある．それらを$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{X}$さんは表が$2$回出るまでコイン$\mathrm{A}$を投げ続け，$\mathrm{Y}$さんは表が$3$回出るまでコイン$\mathrm{B}$を投げ続ける．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{A}$の裏がちょうど$k$回出る確率$a_k$を$p$と$k$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{B}$の裏がちょうど$k$回出る確率$b_k$を$p$と$k$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{A}$の裏が出る回数と$\mathrm{B}$の裏が出る回数の和が$3$である確率$c$を$p$を用いて表せ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$2$次正方行列$X\text{，}Y$が共に逆行列をもてば，積$XY$も逆行列をもつことを示せ．

問２　すべての実数$s$について，$A+sE$は逆行列をもつことを示せ．

問３　すべての実数$t$について，$A^2+3tA+2t^{2}E$は逆行列をもつことを示せ．

【３】　関数$f(x)=\sin 2x+3\sin x$について，次の問いに答えよ．

問１　導関数$f^{\prime }(x)$の最大値，最小値を求めよ．

問２　$a$を定数として，$g(x)=f(x)-ax$と定義するとき，$g(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$は$a<b$をみたす実数とする．$f(x)\text{，}g(x)$は閉区間$[a,b]$で定義された連続関数で，$g(x)\leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a\leqq x\leqq b\text{，}g(x)\leqq y\leqq f(x)$をみたす点$(x,y)$全体からなる図形を$A$とする．$A$の面積$S$が正のとき，$A$の重心の$y$座標は，

${\displaystyle \frac{1}{S}}{\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{{\{f(x\}}^2-{\{g(x)\}}^2}{2}}dx$

で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

問１　$r$は$0<r<1$をみたす実数とする．不等式$r^2\leqq x^2+y^2\leqq 1\text{，}y\geqq 0$をみたす点$(x,y)$全体からなる図形を$B$とおく．$B$の重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．

問２　$t$は正の実数とする．不等式$-1\leqq x\leqq 1\text{，}\sqrt{1-x^2}-t\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,y)$全体からなる図形を$C$とおく．$C$の重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．

問３　問１で得られた$Y(r)$と問２で得られた$Z(t)$について，$\underset{r\to 1-0}{\lim }Y(r)$と$\underset{t\to +0}{\lim }Z(t)$の大小を比較せよ．