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2010-11556-0201
2010 大阪市立大学 後期
理学部(数・物)・工学部
理学部は100点,工学部は40点
易□ 並□ 難□
【1】 t は 0 <t<2 ⁢π をみたす実数とする.実数 x の関数
f⁡( x)= sin⁡x⁢ cos⁡t- cos⁡x⁢ sin⁡t- sin⁡x+ sin⁡t
の t ≦x≦2 ⁢π における最大値を g ⁡(t ) とおく.次の問いに答えよ.
問1 g⁡( t) を t を用いて表せ.
問2 t が 0 <t<2 ⁢π の範囲を動くとき, g⁡( t) の最大値を求めよ.
2010-11556-0202
理(数)・工学部
【2】 原点を O とする座標平面において,円 x2+ (y -2) 2=1 を C とし,円 ( x-t) 2+ y2=4 を C t とする.ただし, t は t >2 を満たす実数とする.次の問いに答えよ.
問1 原点 O を通り,第 1 象限において円 C に接する直線が,円 C t にも接するときの t の値を求めよ.
問2 点 P , 点 Q は第 1 象限内でそれぞれ円 C , 円 C t 上を動くとする.このとき
| OP→ |⁢ |OQ →| -OP→ ⋅OQ → |OP →| ⁢| OQ→ |
の最小値を m ⁡(t ) とする. m⁡( t) を求めよ.また,極限値 limt→ ∞m ⁡(t ) を求めよ.
2010-11556-0203
【3】 実数 t の関数
f⁡( t)= ∫ t-2 3⁢t 3 x2+ 1⁢d x
について,次の問いに答えよ.
問1 導関数 f ′⁡( t) を求めよ.
問2 区間 0 ≦t≦1 において, f⁡( t) を最大にする t の値と最小にする t の値を求めよ.
2010-11556-0204
【4】 座標空間において,点 C ( 2,0, 0) を中心とする半径 2 の球面を S とし,点 A ( a,b, c) は S 上の点で, (a -2) ⁢b⁢c ≠0 をみたすとする.点 P ( p,0, 0) ,Q ( 0,q, 0) ,R ( 0,0, r) はそれぞれ
CA→ ⋅AP →=0 , CA→ ⋅AQ →=0 , CA→ ⋅AR →=0
をみたすとする.次の問いに答えよ.
問1 a ,b , c を用いて p , q ,r を表せ.
問2 点 A が a =3 ,b> 0 ,c >0 をみたしながら球面 S 上を動くとき, ▵PQR の面積の最小値を求めよ.
2010-11556-0205
理(数)学部
100点
【5】 行列 R と行列 E を
R=( 13 - 2⁢2 3 2⁢2 3 13 ), E=( 1 00 1 )
とおく.次の問いに答えよ.
問1 3R2 を E と R を用いて表せ.
問2 n を自然数とする.このとき 3 n⁢R n+1 は, 3 の倍数 a n と, 3 で割り切れない整数 b n を用いて,
3n ⁢Rn +1= an⁢ E+bn ⁢R
と表されることを示せ.
問3 cos⁡θ =1 3 をみたす θ は, π の有理数倍ではないことを示せ.
2010-11556-0206
工学部
40点
【5】 a ,b , c ,d を実数として,
A=( a bc d ), E=( 1 00 1 )
問1 A2 =A-E が成り立つとき, b≠0 であり,かつ
A=( a b - a2+ a-1 b -a+1 )
となることを示せ.
問2 u を - 1 と異なる実数とするとき,
A2 =( u0 0 -1 )
となる A は存在しないことを示せ.