2010　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$t$は$0<t<2\pi$をみたす実数とする．実数$x$の関数

$f(x)=\sin x\cos t-\cos x\sin t-\sin x+\sin t$

の$t\leqq x\leqq 2\pi$における最大値を$g(t)$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$g(t)$を$t$を用いて表せ．

問２　$t$が$0<t<2\pi$の範囲を動くとき，$g(t)$の最大値を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，円$x^2+{(y-2)}^2=1$を$C$とし，円${(x-t)}^2+y^2=4$を$C_t$とする．ただし，$t$は$t>2$を満たす実数とする．次の問いに答えよ．

問１　原点$\mathrm{O}$を通り，第$1$象限において円$C$に接する直線が，円$C_t$にも接するときの$t$の値を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は第$1$象限内でそれぞれ円$C\text{，}$円$C_t$上を動くとする．このとき

${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}}$

の最小値を$m(t)$とする．$m(t)$を求めよ．また，極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }m(t)$を求めよ．

【３】　実数$t$の関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_{t-2}^{3t}}{3}^{x^2+1}dx$

について，次の問いに答えよ．

問１　導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

問２　区間$0\leqq t\leqq 1$において，$f(t)$を最大にする$t$の値と最小にする$t$の値を求めよ．

【４】　座標空間において，点$\mathrm{C}(2,0,0)$を中心とする半径$2$の球面を$S$とし，点$\mathrm{A}(a,b,c)$は$S$上の点で，$(a-2)bc\ne 0$をみたすとする．点$\mathrm{P}(p,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,q,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,r)$はそれぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AR}}=0$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b\text{，}c$を用いて$p\text{，}q\text{，}r$を表せ．

問２　点$\mathrm{A}$が$a=3\text{，}b>0\text{，}c>0$をみたしながら球面$S$上を動くとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．

【５】　行列$R$と行列$E$を

$R=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\\ {\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$3R^2$を$E$と$R$を用いて表せ．

問２　$n$を自然数とする．このとき$3^n{R}^{n+1}$は，$3$の倍数$a_n$と，$3$で割り切れない整数$b_n$を用いて，

$3^n{R}^{n+1}=a_{n}E+b_{n}R$

と表されることを示せ．

問３　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたす$\theta$は，$\pi$の有理数倍ではないことを示せ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数として，

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$A^2=A-E$が成り立つとき，$b\ne 0$であり，かつ

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ {\displaystyle \frac{-a^2+a-1}{b}}& -a+1\end{array}\right)$

となることを示せ．

問２　$u$を$-1$と異なる実数とするとき，

$A^2=\left(\begin{array}{cc}u& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

となる$A$は存在しないことを示せ．