2010　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　コインを$n$回投げて，表が出た回数$k$に応じてポイント$2^k$が与えられるゲームを考える．ただし，コインを投げたとき，表が出る確率を${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　$n=4$として，このゲームを$1$ゲーム行ったとき，$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．

(2)　$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行ったとき，少なくとも$1$ゲームは$8$ポイント以上を獲得する確率を求めよ．

(3)　$n=4$として，このゲームを$3$ゲーム行ったとき，獲得するポイントの合計が$32$以上となる確率を求めよ．

(4)　このゲームを$1$ゲーム行ったとき，獲得するポイントの期待値を$n$を用いて表わせ．

【２】　空間の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一直線上にはないものとし，原点を$\mathrm{O}$とする．空間の点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，$x+y+z=1$を満たす正の実数$x\text{，}y\text{，}z$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}+z\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表わされているとする．

(1)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$は交わり，その交点を$\mathrm{D}$とすれば，$\mathrm{D}$は$\mathrm{BC}$を$z:y$に内分し，$\mathrm{P}$は$\mathrm{AD}$を$(1-x):x$に内分することを示せ．

(2)　$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とすれば，

${\displaystyle \frac{S_1}{z}}={\displaystyle \frac{S_2}{x}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考える．$A$で表される$xy$平面上の移動を$f$とする．

(1)　$A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は，$a+d=0$であることを示せ．

(2)　$a+d=0$のとき，原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$で，$f\left(\mathrm{P}\right)$が直線$\mathrm{OP}$上にあるものが存在すれば，$a^2+bc\geqq 0$であることを示せ．

(3)　$a+d=0$かつ$a^2+bc\geqq 0$であるとする．このとき$\lambda =\sqrt{a^2+bc}$とおけば，$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は零行列とする．

(4)　(3)の仮定のもとで，$\lambda =\sqrt{a^2+bc}$とおく．原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$で，$\mathrm{Q}=f\left(\mathrm{P}\right)$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表わす．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$S_n=2a_n-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_n+n^2-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$a_1=1\text{，}{a}_2=1$とし，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を満たす数列を$\{a_n\}$とする．このとき，すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_{n+2}-1$および$S_n<3a_n$が成り立つことを示せ．

【４】　$k$を正の実数とし，$xy$平面上の$2$曲線

$C_1:y=-x^3+kx\text{，}{C}_2:x^2+y^2=k$

を考える．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が$4$つの共有点を持つとする．$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積をそれぞれ求めよ．

【４】　$xy$平面上に$2$直線

$l:y=-x+5\text{，}m:y=3x-3$

が与えられている．曲線$C$は，$y=x^2$を平行移動した放物線であり，$l$と点$\mathrm{P}$で接し，$m$と点$\mathrm{Q}$で接しているとする．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　$C$と$l\text{，}m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{4}{3+4x^2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．

(2)　直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=1$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n}{n+5}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられている．数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{n+4}{4}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_n-b_{n+1}-a_n$を求めよ．

(3)　$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　無限級数$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+\cdots$の和を求めよ．

【３】　$f(x)=2x^2-4x+3\text{，}g(x)=-x^2-2x-2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点と放物線$y=g(x)$の頂点を通る直線とこれらの放物線との交点をすべて求めよ．

(2)　放物線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$の両方に接する$2$本の直線の交点を求めよ．

【４】　$2$次の正方行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．（すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．）$f$により，点$(1,1)$は点$(2,2)$に移り，点$(1,-1)$は点$(-1,1)$に移る．次の問いに答えよ．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．

(3)　直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．