2010 大阪府立大学 中期

Mathematics

Examination

Test

Archives

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 次の関係式を満たす数列 {an } の一般項をそれぞれ求めよ.

(ⅰ)  a1= 1 4 an +1= a n3 an+ 1 n =1 2 3

(ⅱ)  a1= 1 an+ 1=2 an +3n n=1 2 3

 ((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 行列 A= ( ab cd )

A2- 97A+ 2010E= O

を満たすとき, a+d ad -bc の値の組をすべて求めよ.ただし, E=( 10 01 ) O= (0 0 00 ) とする.

 ((2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(3)  a を正の実数とするとき,極限値

b=lim n (n+ 1)a+ (n+ 2)a ++ (n+n )a 1a+ 2a++ na

を求めよ.

 ((3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に 4 O A B C があり,点 O を始点とするそれぞれの位置ベクトルを a b c とし,

|a | =2 |b | =10 a b =2 a c =8 b c= 20

が成り立つとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  c a b を用いて表せ.

(2) 点 C から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB の交点を H とする.このとき,ベクトル OH a b を用いて表せ.また, | CH | を求めよ.

(3) 実数 s t に対して,点 P

OP =s a+ tb

で定める. s t が条件

(s+t -1) (s+3 t-3 )0

を満たしながら変化するとき, |CP | の最小値を求めよ.

 ((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上において,点 (x, y) から点 (x +1, y) または点 (x, y+ 1) への移動を N 型移動といい,点 (x, y) から点 (x+ 1,y+ 1) への移動を S 型移動という. n 3 以上の整数とする.原点 O から出発し, 2n -2 回の N 型移動と 1 回の S 型移動を組合わせて点 (n, n) に到達する経路の総数を A (n) とする.また,このような経路のうち, S 型移動を k 回目の移動として含む経路の総数を B (n,k ) とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  A(3 ) を求めよ.

(2)  B(4 ,1) B (4,2 ) をそれぞれ求めよ.

(3)  B(n ,1) n を用いて表せ.

(4) 一般の k= 2 3 2n- 1 に対して, B(n ,k) n k を用いて表せ.

(5)  A(n ) n を用いて表せ.

 ただし, p q r を非負の整数とし, pq r とするとき,

i=0 p Ci p C q-i r =Cq p+ r

が成り立つことを用いてもよい.

 ((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2010 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.

(1)  a を正の定数とするとき,関数

f(x )=log (x+ a+x 2)

の導関数 f (x ) を求めよ.

(2)  t=3 tanθ とおくことにより,定積分

I= 01 d t (3+ t2) 3

を求めよ.

(3)  0x 1 であるすべての x に対して,不等式

0x dt (3 +t2 )3 k 0x dt 3+t2

が成り立つための実数 k の範囲を求めよ.ただし, log3 =1.10 とする.