2010　大阪府立大学　中期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(ⅰ)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{3a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(ⅱ)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+3^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が

$A^2-97A+2010E=O$

を満たすとき，$a+d\text{，}ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

　（(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a$を正の実数とするとき，極限値

$b=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(n+1)}^a+{(n+2)}^a+\cdots +{(n+n)}^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a}}$

を求めよ．

　（(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　平面上に$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，点$\mathrm{O}$を始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とし，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=8\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=20$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|$を求めよ．

(3)　実数$s\text{，}t$に対して，点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

で定める．$s\text{，}t$が条件

$(s+t-1)(s+3t-3)\leqq 0$

を満たしながら変化するとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|$の最小値を求めよ．

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　座標平面上において，点$(x,y)$から点$(x+1,y)$または点$(x,y+1)$への移動を$\mathrm{N}$型移動といい，点$(x,y)$から点$(x+1,y+1)$への移動を$\mathrm{S}$型移動という．$n$を$3$以上の整数とする．原点$\mathrm{O}$から出発し，$2n-2$回の$\mathrm{N}$型移動と$1$回の$\mathrm{S}$型移動を組合わせて点$(n,n)$に到達する経路の総数を$A(n)$とする．また，このような経路のうち，$\mathrm{S}$型移動を$k$回目の移動として含む経路の総数を$B(n,k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A(3)$を求めよ．

(2)　$B(4,1)\text{，}B(4,2)$をそれぞれ求めよ．

(3)　$B(n,1)$を$n$を用いて表せ．

(4)　一般の$k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n-1$に対して，$B(n,k)$を$n\text{，}k$を用いて表せ．

(5)　$A(n)$を$n$を用いて表せ．

　ただし，$p\text{，}q\text{，}r$を非負の整数とし，$p\leqq q\leqq r$とするとき，

${\displaystyle \sum _{i=0}^p}{}_{p}C_i\cdot {}_{r}C_{q-i}={}_{p+r}C_q$

が成り立つことを用いてもよい．

　（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の定数とするとき，関数

$f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2})$

の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dt}{\sqrt{{(3+t^2)}^3}}}$

を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式

${\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{dt}{\sqrt{{(3+t^2)}^3}}}\geqq k{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}}$

が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．