2010　東北学院大学　前期分割工(電気情報工,環境建設工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　整数$A\text{，}B$が等式

${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^8=A+B\sqrt{6}$

を満たすとき$B=\boxed{\text{（ア）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき$\sin 2x=\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$x+y=4$のとき

${\displaystyle \frac{1}{4}}{\log }_{\frac{1}{2}}\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+{\log }_{\mathrm{?}}\sqrt{y}$

の最大値を求めると$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{a_1}{a_{\mathrm{?}}{a}_2{a}_3}}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおいて，$b_n$と$b_{n-1}$の関係を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$へ互いに直交する$2$本の接線が引けるとする．その接点を$\mathrm{A}(s,s^2)\text{，}\mathrm{B}(t,t^2)$（ただし$s<t$）とするとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$s$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　放物線と線分$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$で囲まれる図形の面積$S$を$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$S$の最小値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=x\log x$

について以下の問いに答えよ．ただし$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$である．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e^2}}^e}f(x)dx$を求めよ．