2010　東北学院大学　後期文，法，経済，経営，教養学部3月5日MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\angle \mathrm{ABD}=60°\text{，}\angle \mathrm{ADB}=45°$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{BD}$の長さと$\sin 75°$の値を求めよ．

(ⅲ)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅳ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x<0\text{，}0\leqq x<1\text{，}x\geqq 1$の各場合について，$|x|+2|x-1|$を簡単にせよ．

(ⅱ)　方程式$|x|+2|x-1|=2x$を解け．

【３】　$2$次方程式$x^2-2x+4=0$の解の$1$つを$\alpha$とするとき，${\alpha }^3$と${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\displaystyle \frac{2}{\alpha }}$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$を定数とする．${\{{\displaystyle {\int }_0^1}(ax+b)dx\}}^2$と${\displaystyle {\int }_0^1}{(ax+b)}^{2}dx$の大小を比較せよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　等式$f(x)=4x^2-2{\displaystyle {\int }_0^3}(x-1)f(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人があるゲームをする．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$5$回ゲームをするとき，$\mathrm{A}$が$3$回以上勝つ確率を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$3$勝する確率を求めよ．

(ⅲ)　どちらかが先に$3$勝するまでゲームを行うとき，$\mathrm{B}$が勝つ回数の期待値を求めよ．

【６】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{OC}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$があり

$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1\text{，}\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=4:1\text{，}\mathrm{BR}:\mathrm{RC}=k:(1-k)\text{，}\mathrm{OS}:\mathrm{SC}=3:1$

とする．ただし，$0<k<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(ⅱ)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，定数$k$の値を求めよ．