2010　東北学院大学　後期工学部3月5日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{1}{x^3+1}}={\displaystyle \frac{a}{x+1}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2-x+1}}$が恒等式となるように定数$a\text{，}b\text{，}c$を定めたとき$(a,b,c)=\boxed{\text{（ア）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$y=3^{x+1}+3^{-x+1}$が最小となるときの$x$の値は$\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3^n$が$100!$を割り切るような最大の整数$n$は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　空間内の原点$\mathrm{O}$及び$3$点$\mathrm{A}(2,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2,3)$を考える．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき$\sin \theta$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$から$▵\mathrm{OAB}$の定める平面におろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}(1,2)$から最短距離にある放物線上の点$\mathrm{P}$を求めよ．

(ⅱ)　放物線と点$\mathrm{P}$における接線および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

(ⅲ)　放物線の接線で，点$\mathrm{P}$における接線とのなす角が$75°$のものを求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_1^a}\{3f(t)-4xt\}dt$

について以下の問いに答えよ．ただし$a>{\displaystyle \frac{4}{3}}$とする．

(ⅰ)　$k={\displaystyle {\int }_1^a}f(t)dt$とするとき$f(x)$を$k\text{，}a\text{，}x$で表せ．

(ⅱ)　$k$を$a$で表せ．

(ⅲ)　$f(x)=0$をみたす$x$の値が最小となるときの$a$の値を求めよ．