2010　学習院大学　文学部MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$で，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．

$\angle \mathrm{A}=60°\text{，}b=4c$

のとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a}{c}}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\tan B}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan C}}$の値を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$は，サイコロを投げて$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目が出たら正の向きに$1$だけ進み，$5\text{，}6$の目が出たら負の向きに$1$だけ進む．

(1)　サイコロを$5$回投げる間に，$\mathrm{P}$が一度も数直線の正の側に出ない確率を求めよ．

(2)　サイコロを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=2& \\ a_n=2a_{n-1}+2\cdot 6^{n-1}& \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定めるとき，一般項$a_n$を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とする．$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,a)$があり，点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ．また，その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$a=5$の時，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある．これらの点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$における$C$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$l_1\text{，}{l}_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．