2010　学習院大学　理学部MathJax

【１】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -4& 3\end{array}\right)$

について次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を計算せよ．

(2)　自然数$n$について$A^n$を求めよ．

(3)　自然数$n$について$A^n$の逆行列を求めよ．

【２】　第一象限内にあって$2$つの曲線

$y=x^2-1\text{，}{x}^2+y^2+2\sqrt{3}y-1=0$

と$2$つの直線

$y=3\text{，}x=0$

とで囲まれる図形を$D$とする．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【３】　$x\text{，}y$の動く範囲を$0\leqq x\leqq 2\pi \text{，}0\leqq y\leqq 2\pi$とするとき，不等式

$\sin x+\sin y\geqq \cos x+\cos y$

の表す領域を平面上に図示せよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の実数とする．定積分

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{a{x}^2+(a^2+2a)x+2a^2-2a+4}{(x+a)(x+2)}}dx$

を求めよ．

(2)　$a$が正の実数全体を動くとき，$F(a)$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．