2010　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】

(1)　方程式$x^4-4x^3-16x^2+8x+4=0\cdots \text{①}$がある．

(ⅰ)　$x-{\displaystyle \frac{2}{x}}=t$とおくとき，$\text{①}$を$t$の式で表すと，$t^2-\boxed{\text{(1)}}t-\boxed{\text{(2)(3)}}=0$である．

(ⅱ)　$\text{①}$の方程式の解のうち，最も大きなものは$\boxed{\text{(4)}}+\sqrt{\boxed{\text{(5)(6)}}}$である．

【１】

(2)　$1$つのさいころを$2$回投げて，$1$回目に出た目の数を$a\text{，}2$回目に出た目の数を$b$とする．円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by-4=0$とするとき，

(ⅰ)　円$C$の半径が$3$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)(9)}}}}$である．

(ⅱ)　円$C$の半径が$3$以上である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)(11)}}}{\boxed{\text{(12)(13)}}}}$である．

【１】

(3)　円$O$とこれに内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{6}}$である．円$O$の$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に動点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$とは一致しない．

(ⅰ)　$\mathrm{AP}=1$のとき，$▵\mathrm{ACP}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(14)(15)}}}}{\boxed{\text{(16)}}}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ACP}$の面積が最大となるとき，$\mathrm{BP}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}\sqrt{\boxed{\text{(18)(19)}}}}{\boxed{\text{(20)}}}}$である．

【１】

(4)　$2$次方程式$x^2+t^{2}x-2t=0$（$t$は正の定数）の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$として，$P={\displaystyle {\int }_{-1}^2}\left\{\right(x+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}})(x+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}})+{\displaystyle \frac{1}{\alpha \beta }}\}dx$とする．

(ⅰ)　$P$を$t$の式で表すと，$P=\boxed{\text{(21)}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}}}}(t^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}}{t^2}})$である．

(ⅱ)　$P$は$t=\sqrt[4]{\boxed{\text{(25)}}}$のとき，最小値$\boxed{\text{(26)}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}\sqrt{\boxed{\text{(28)}}}}{\boxed{\text{(29)}}}}$をとる．

【１】

(5)　$xy=4\text{，}x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}y\geqq 1$を満たす実数$x\text{，}y$について，$Q={({\log }_{0.5}x)}^3+{({\log }_{0.5}y-1)}^3$とする．

(ⅰ)　$Q$は，$x=\boxed{\text{(30)}}\sqrt{\boxed{\text{(31)}}}\text{，}y=\sqrt{\boxed{\text{(32)}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)(34)(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}}}$をとる．

(ⅱ)　$Q$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}\text{，}y=\boxed{\text{(39)}}$のとき，最小値$\boxed{\text{(40)(41)(42)}}$をとる．

【２】　容器$\mathrm{A}$に濃度$10\%$の食塩水$100g$が入っている．また容器$\mathrm{B}$には濃度$20\%$の食塩水$100g$が入っている．このとき次の操作$\mathrm{T}$を考える．

操作$\mathrm{T}$：「容器$\mathrm{A}$から食塩水を$xg$取り出し，容器$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜて，容器$\mathrm{B}$から$xg$の食塩水を取り出して，容器$\mathrm{A}$に入れて再びよくかき混ぜる．」

　操作$\mathrm{T}$を$n$回（$n$は自然数）くり返したときの容器$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の食塩水の濃度をそれぞれ$a_n\text{（}\%\text{）}\text{，}{b}_n\text{（}\%\text{）}$とおく．ただし，濃度は質量パーセント濃度である．

　$a_1=12\text{（}\%\text{）}$であるとき，

(1)　$x$の値は$\boxed{\text{(43)(44)}}$であり，$b_1$の値は$\boxed{\text{(45)(46)}}$である．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$の式で表すと，$a_n=\boxed{\text{(47)(48)}}-\boxed{\text{(49)}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}}}{\boxed{\text{(51)}}}}\right)}^{n-1}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{(52)(53)}}+\boxed{\text{(54)}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}}}{\boxed{\text{(56)}}}}\right)}^{n-1}$である．

(3)　$b_n-a_n<0.5$を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\text{(57)}}$である．

【３】　$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,a)$と曲線$C:y=x^3-k{x}^2$がある．ただし，$a\text{，}k$は正の定数とする．点$\mathrm{A}$から曲線$C$に接線$l$を引く．

(1)　$a=3\text{，}k=1$のとき，接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{(58)}}x+\boxed{\text{(59)}}$である．

(2)　接線$l$が$2$本引けるとき，$a$を$k$の式で表すと，$a={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(60)(61)}}}}{k}^{\boxed{\text{(62)}}}$である．

(3)　$t=a-2k$とおく．接線$l$が$1$本，または$2$本引けるとき，$t$の最小値は$\boxed{\text{(63)(64)}}\sqrt{\boxed{\text{(65)}}}$である．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}=3\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}^{\prime }}=4\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{O}$から平面${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$に垂線$l$をひく．$l$と平面${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$との交点を$\mathrm{H}\text{，}l$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(66)(67)}}}{\boxed{\text{(68)(69)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(70)(71)}}}{\boxed{\text{(72)(73)}}}}\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(74)}}}{\boxed{\text{(75)(76)}}}}\overrightarrow{c}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}}$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(77)(78)}}}{\boxed{\text{(79)(80)}}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{APB}$と$▵\mathrm{ABC}$の面積の比は$1:\boxed{\text{(81)(82)}}$である．

(4)　四面体$\mathrm{OAPB}$と四面体$\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の体積の比は$1:\boxed{\text{(83)(84)(85)}}$である．