2010　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線$y=-2x^2+4x-4$を$x$軸に関して対称移動し，さらに$x$軸の方向に$8\text{，}y$軸の方向に$4$だけ平行移動して得られる放物線の方程式は

$y=\boxed{\text{(1)}}{x}^2-\boxed{\text{(2)}\text{(3)}}x+\boxed{\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　ある自然数があり，それを$9$で割ると$5$余り，$7$で割ると$4$余り，$63$で割ると$r$余る．このとき$r=\boxed{\text{(7)(8)}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　座標平面上で$3$点$(0,0)\text{，}(\pi ,0)\text{，}(0,\pi )$を頂点とする三角形を考える．点$(x,y)$がこの三角形の辺上を動くとき，$\sin x\cos y+\cos (x+y)$は

$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}}}\pi ,\boxed{\text{(11)}})$

のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{(12)}}}$をとり，

$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}}}\pi ,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}\pi )$

のとき最小値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}}}$をとる．

【２】　平面上の$▵\mathrm{OAB}$とその内部の点$\mathrm{P}$について，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{4}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=12\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{27}{2}}$

が成り立っている．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}}}{\boxed{\text{(20)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}}}$である．

(ⅲ)　直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$である．

(ⅳ)　$▵\mathrm{APB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|t-2|dt$を考える．

(ⅰ)　$x\leqq 2$の範囲では

$f(x)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}}}{x}^2+\boxed{\text{(32)}}x$

であり，それ以外の範囲では

$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}}{x}^2-\boxed{\text{(35)}}x+\boxed{\text{(36)}}$

である．

(ⅱ)　$f(x)=10$となる$x$の値は$x=\boxed{\text{(37)}}$である．

(ⅲ)　関数$g(x)=(x-1)f(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}}-\sqrt{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$で最小値をとる．

【４】　座標平面上に，底面に塗料のついた半径$1$の円板を置く．この塗料によって，円板が接触した平面上の領域には色がつくものとする．この円板を以下の手順に従って平面上で動かす．

　まず，上（$y$軸の正の向き），下（$y$軸の負の向き），左（$x$軸の負の向き），右（$x$軸の正の向き）のいずれかの向きを選択し，その向きに円板を$1$だけ動かす．この時点で色がついている領域の面積を$X_1$とする．

　その状態から，再び上下左右のいずれかの向きを選択し，その向きに円板を$1$だけ動かす．この時点で色がついている領域の面積を$X_2$とする．

(ⅰ)　$X_1$の値は$\boxed{\text{(42)}}\pi +\boxed{\text{(43)}}$である．

(ⅱ)　$1$回目，$2$回目それぞれの移動の際に，上，下，左，右を選択する確率がいずれも${\displaystyle \frac{1}{4}}$であるとき，$X_2$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}\pi +\boxed{\text{(46)}}$である．

(ⅲ)　$0\leqq p\leqq 1$とする．$1$回目，$2$回目それぞれの移動の際に，上，下，左，右を選択する確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{p}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{p}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1-p}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1-p}{2}}$であるとき，$X_2$の期待値を$p$を用いて表すと

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}\pi p^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}}{\boxed{\text{(50)}}}}\pi p+\boxed{\text{(51)}}\pi +\boxed{\text{(52)}}$

である．この期待値は$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}}}{\boxed{\text{(54)}}}}$のとき最大値

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}}}{\boxed{\text{(56)}}}}\pi +\boxed{\text{(57)}}$

をとり，$p=\boxed{\text{(58)}}$または$p=\boxed{\text{(59)}}$のとき最小値

$\boxed{\text{(60)}}\pi +\boxed{\text{(61)}}$

をとる．

【５】　次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$がある．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=0\\ a_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{12-9a_n}}\end{array}$

　以下の設問に答えなさい．

［解答欄の枠内に答えのみ記入すること．］

(ⅰ)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{6a_n-4}}$とおくと，数列$\left\{b_n\right\}$が定まる．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　数列$\left\{a_n\right\}$の一般項を求めなさい．