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2010 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  2 桁の自然数 a b a2 -4a b+3 b2 =64 をみたす.このとき a= (1)(2) b= (3)(4) である.

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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 次の不等式を満たす整数 a b の組 (a, b) は全部で (5)(6)(7) 個ある.

0 a+b 2 a -b2 5

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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【1】

2010年慶応義塾大環境情報学部【1】(3)の図

(3) 座標平面上に 6 A( 0,0) B( 1,0) C( 2,0) D( 2,1) E( 1,1) F (0,1 ) がある.以下では長方形 ACDF をビリヤードの台と思い,点 A B C D E F に穴があるとする.すると,点 A から x 軸に対して傾き 13 で打ち出した球は (8)(9) 回縁で跳ね返り, (10) の穴に入り,傾き 37 で打ち出した球は (11)(12) 回縁で跳ね返り, (13) の穴に入る.ここで,球は台の縁に衝突した角度(入射角)と同じ大きさの角度(反射角)で跳ね返り,つぎに衝突するまで直線運動を行うものとする.また,途中失速することはないものとする.

 右図は x 軸に対して傾き m A から打ち出した球の軌跡の一部を表している.

  (10) (13) には下記の選択肢から適切な番号を選び記入しなさい.

[選択肢]



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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【2】 任意の 0 以上の整数 x y の組 (x, y) を格子点とよぶ.たとえば (2 ,3) は格子点である.すべての格子点に 0 から始めて重複なく 0 1 2 というように順に番号をつける.点 (x, y) の番号を I (x, y) で表し,番号 i にあたる格子点を Pi で表す.したがって P I(x ,y) =(x, y) I( Pi )=i がなりたつ.

 さて, Pi i 0 として次の条件をみたすものが存在する.ただし, Pi =( xi, yi ) であり, mi xi yi の最大値とする.

1.  Pi= (0,1 ) かつ Pj =(1 ,1) ならば i<j

2.  Pi= (1,0 ) かつ Pj =(1 ,1) ならば j< i

3.  mi< mj のとき i< j

4.  mi= mj のとき

(a)  xi< xj ならば (14)(15)

(b)  yi< yj ならば (16)(17)

このとき,

I(m ,n)= { (18)(19) mn (20)(21) m >n

である.

[選択肢]



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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【3】 選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい.ただし (28) (29) (32) (33) には計算した数を記入しなさい.

 ある袋に白い碁石と黒い碁石が合わせて 100 個入っている.各色の碁石の数は 0 以上 100 以下であるということを除いて全く分からない.この袋から碁石を 1 つ取りだすとき,それが白である確率を求めよう. Wk を白い碁石の個数が k である事象とする.取りだした碁石が白である事象を A とすると

(*)  P(A )= k =0100 P (A (22)(23) Wk)

が成立する.ただし, P(A ) は事象 A の確率を表すものとする.ここで, P( A (22)(23) W k) は,白の碁石が k 個のとき事象 A が起きる確率 Qk P (W k) にかけて得られる.各 Wk が同様に確からしいから, P( Wk )= (24)(25) である.また, Qk= (26)(27) となる.したがって,(*)を用いて P (A) = (28) (29) と計算される.

 さらに続けて碁石を取りだすとき, 2 つ目の碁石も白となる確率を求めよう. 2 つ目の碁石が白である事象を B とすると,求めるべき確率は P( BA) P( A) である.前と同様にして

P(B A)= k=0 100 P(B A (22)(23) W k)= k=0 100 P(A (22)(23) Wk )× (30)(31)

となり, P(B A) の値が求められる.その結果, P(B A) P( A) = (32) (33) と計算される.

[選択肢]



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2010年慶応義塾大環境情報学部【4】の図

【4】 右図の斜線で示した凸図形を x 軸を中心として回転させた回転体 A を考える.

 回転体 A の体積は (34)(35) π である.

 次に回転体 A をさらに y 軸を中心に回転させてできる回転体 B を考える.まず, 0a 0 のとき,回転体 A y= a で切った断面は

2010年慶応義塾大環境情報学部【4】の図

となる. y 軸から点 C までの距離は (40)(41) - a2 であり,点 D までの距離は (42)(43) -a2 であるから,この断面を y 軸の回りに回転させてできる円の面積は ( (44)(45) - a2) π である.

  a のそれ以外の範囲の場合も同様に考えると,回転体 B の体積は

(46)(47) (48)(49) π

となる.

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2月20日実施

【6】との選択

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【5】

(1)  ABC BC CA =-12 CA AB =- 4 AB BC =- 46 をみたしている.このとき

|BC | = (101)(102) |CA | = (103)(104) |AB | = (105)(106)

であり, ABC の面積は (107)(108) である.

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【6】との選択

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【5】

(2) 自然数 n の常用対数 log n の近似値を求めるために近似値 log 2=0.3010 log3 =0.4771 n に近い自然数 2 a 3b 5c a b c 0 以上の整数)を利用しよう.たとえば 2 3<7< 23 24 3 < 72< 25 2 などである.さらに 7k k> 2 の近似値を用いれば,小数第 3 位以下を四捨五入することによって, log7 の近似値 0. (109)(110) を得る.同様にして log 19 の近似値 1. (111)(112) を得る.

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2月20日実施

【5】との選択

易□ 並□ 難□

【6】 パスカルの三角形は次のように,最上段を 1 とし,それより下の行は,その位置の上の数と左上の数の和を配置することによってできあがっている.ただし,上の数や左上の数がなかった場合には, 0 と考えて和を計算する.

1 11 12 1 13 31 14 64 11 510 105 1

このようにして作られたパスカルの三角形の n 行目の k 番目の数は,組み合わせの数 C k-1 n- 1 になっている.

 次のプログラムは 10 行までのパスカルの三角形を出力するものである.選択肢から空欄を埋めるもっとも適切なものを選び,その番号を答えなさい.

[選択肢]



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