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【3】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
三角形がつと球がたくさん用意されている.三角形の各頂点上には高々個の球を置くことができるとし,三角形上の頂点以外の位置には球を置くことができないとする.三角形上に少なくとも個の球が置かれている状態に対して次の操作Tを考える.
操作T
(T1) 三角形上の球どれか個を等しい確率で選ぶ.
(T2)(a) 確率で,(T1)により選ばれた球が置かれている頂点上に三角形外から球を個加える.
(b) 確率ずつで,(T1)により選ばれた球を隣のつの頂点のどちらかに移す.
(T3) (T2)の結果,つの頂点上に個の球が置かれた場合は,その個目の球を直前にあった位置に戻す.
また,次のつの状態を考える.
A:つの頂点上に個ずつ球が置かれ,つの頂点上には何も置かれていない状態
B:つの頂点上に個の球が置かれ,つの頂点上に個ずつ球が置かれている状態
C:三角形上に合計個の球が置かれている状態
D:三角形上に合計個の球が置かれている状態
いま,状態Aから始め,操作Tを何回か繰り返し行う.以下,各回の操作を(T3)まで終えたときの状態のみに着目し,操作途中の状態を考えないものとする.また,を自然数とする.
(1) 操作Tを回繰り返し終えたとき,状態がAである確率を状態がBである確率をとする.である.さらに,に対してをで表すと
である.これよりをそれぞれの式で表すとである.
(2) 操作Tを回繰り返し終えたとき初めて状態がCになる確率をとする.をの式で表すとである.
(3) 操作Tを回繰り返し終えたとき初めて状態がDになる確率をとする.に対してをの式で表すと
である.