2010　慶応義塾大学　医学部MathJax

$f^{″}(x)+\boxed{\text{(う)}}{f}^{\prime }(x)+\boxed{\text{(え)}}f(x)=0$

を満たす．

　座標平面において$\mathrm{A}(a,0)$（ただし$a>0$）を$x$軸上の定点とし，曲線$C$を双曲線$2x^2-y^2=1$の$x>0$に対する部分とする．曲線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し，点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上を動くときの$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}$の最小値を$r(\mathrm{Q})$と定義する．

(1)　$\mathrm{Q}(1,-1)$に対して$r(\mathrm{Q})$を$a$の式で表すと$r(\mathrm{Q})=\boxed{\text{(あ)}}$であり，$\mathrm{Q}(2,\sqrt{7})$に対しては$r(\mathrm{Q})=\boxed{\text{(い)}}$である．

(2)　さらに$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くときの$r(\mathrm{Q})$の最小値を考える．

(ⅰ)　$r(\mathrm{Q})$が$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})$において最小値をとるのは$a=\boxed{\text{(う)}}$のときであり，$\mathrm{Q}(2,\sqrt{7})$において最小値をとるのは$a=\boxed{\text{(え)}}$のときである．

(ⅱ)　$r(\mathrm{Q})$が$\mathrm{Q}(1,1)$において最小値をとるような$a$の範囲を求めなさい．

　三角形が$1$つと球がたくさん用意されている．三角形の各頂点上には高々$2$個の球を置くことができるとし，三角形上の頂点以外の位置には球を置くことができないとする．三角形上に少なくとも$1$個の球が置かれている状態に対して次の操作Tを考える．

また，次の$4$つの状態を考える．

A：$2$つの頂点上に$2$個ずつ球が置かれ，$1$つの頂点上には何も置かれていない状態

B：$1$つの頂点上に$2$個の球が置かれ，$2$つの頂点上に$1$個ずつ球が置かれている状態

C：三角形上に合計$5$個の球が置かれている状態

D：三角形上に合計$6$個の球が置かれている状態

　いま，状態Aから始め，操作Tを何回か繰り返し行う．以下，各回の操作を(T3)まで終えたときの状態のみに着目し，操作途中の状態を考えないものとする．また，$n$を自然数とする．

(1)　操作Tを$n$回繰り返し終えたとき，状態がAである確率を$a_n\text{，}$状態がBである確率を$b_n$とする．$a_1=\boxed{\text{(あ)}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{(い)}}$である．さらに，$n\geqq 2$に対して$a_n\text{，}{b}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}$で表すと

$\{\begin{array}{l}{a}_n=\boxed{\text{(う)}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{(え)}}{b}_{n-1}\\ b_n=\boxed{\text{(お)}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{(か)}}{b}_{n-1}\end{array}$

である．これより$a_n-b_n\text{，}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n$をそれぞれ$n$の式で表すと$a_n-b_n=\boxed{\text{(き)}}\text{，}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n=\boxed{\text{(く)}}$である．

(2)　操作Tを$n$回繰り返し終えたとき初めて状態がCになる確率を$c_n$とする．$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=\boxed{\text{(け)}}$である．

(3)　操作Tを$n$回繰り返し終えたとき初めて状態がDになる確率を$d_n$とする．$n\geqq 3$に対して$d_n$を$n$の式で表すと

$d_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-2}}\boxed{\text{(こ)}}$

である．　

　関数$y=f(x)$は区間$0\leqq x\leqq a$（ただし$a>0$）において微分可能かつ$f^{\prime }(x)<0$であり，$f(a)=0$とする．$0<x<a$として，点$(x,f(x))$における関数$f(x)$のグラフの接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\text{，}$とし，原点を$(0,0)$とする．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S(x)$として，$S(x)$を$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)$を用いて表すと

$S(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{{(\boxed{\text{(あ)}})}^2}{\boxed{\text{(い)}}}}$

である．

(2)　第$2$次導関数$f^{″}(x)$が存在するとき

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\log S(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(う)}}}{\boxed{\text{(え)}}}}\text{（}0<x<a\text{）}$

である．

(3)　さらに区間$0\leqq x\leqq a$において$f^{″}(x)<0$ならば，関数$S(x)$は区間$0<x<a$のちょうど$1$点で最小値をとることを示しなさい．

(4)　$f(x)=5-{(x+1)}^2$のとき区間$0<x<\sqrt{5}-1$において$S(x)$が最小値をとる点$x_0$を求めると$x_0=\boxed{\text{(お)}}$である．