2010　上智大学　地球法,英語,心理学科2月3日実施MathJax

【１】

(1)　箱の中に$0\text{〜}9$のいずれかの数字が書かれたさまざまな色と大きさの何個かの球が入っている．次の(ⅰ)〜(ⅲ)のそれぞれの場合について，命題(P)，(Q)から得られる結論が選択肢の中にあれば，その記号を答えよ．また，選択肢の中に得られる結論がない場合は，$\mathrm{z}$を選べ．

(ⅰ)　(P)　直径$5cm$以上の赤い球が存在する．

　(Q)　直径$5cm$以上の球にはすべて，$6$以上の数字が書かれている．

(ⅱ)　(P)　赤い球はすべて，直径$5cm$以上である．

　(Q)　直径$5cm$以上で$6$以上の数字が書かれている球が存在する．

(ⅲ)　(P)　赤い球はすべて，直径$5cm$未満である．

　(Q)　$6$以上の数字が書かれている球はすべて，直径$5cm$以上である．

【１】

(2)　$x\geqq 0$のとき，

$f(x)={\log }_2(4(4^x+4^{-x})-20(2^x+2^{-x})+97)$

は，$x=\boxed{\text{ア}}$で最小値$\boxed{\text{イ}}$をとる．

【１】

(3)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$

を満たす$x$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi$である．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$が，$2\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たしている．

(1)　点$\mathrm{P}$は，中心$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$の円周上にある．以下ではこの円を$C$と表す．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$の周上を動くとき，$▵\mathrm{ABP}$の面積は

$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}},\boxed{\text{セ}})\text{，}$または$(\boxed{\text{ソ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}})$

のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$をとる．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}>\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　円$C$は，点$(4,\boxed{\text{ト}})$（ただし$\boxed{\text{ト}}<0$）において，放物線

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}{x}^2+\boxed{\text{ヌ}}$

と接する．

【３】

(1)　$1$から$8$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．

(ⅰ)　同時に$2$枚のカードを選んだとき，カードに書かれている大きい方の数の期待値は$\boxed{\text{ネ}}$である．

(ⅱ)　同時に$3$枚のカードを選んだとき，カードに書かれている最大の数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【３】

(2)　$6$人がそれぞれ青，赤，黄の$3$枚のカードを持っている．各人が手持ちの$3$枚のカードの中から同時に$1$枚を選び，同じ色のカードを選んだ人を同じ組とすることにより，組分けをする．

(ⅰ)　$3$人の組が$2$組できる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{3^a}}\text{，}a=\boxed{\text{フ}}\text{，}$である．

(ⅱ)　$2$人の組が$3$組できる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{3^b}}\text{，}b=\boxed{\text{ホ}}\text{，}$である．

(ⅲ)　$2$人の組が$1$組だけできる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{3^c}}\text{，}c=\boxed{\text{ミ}}\text{，}$である．

　ただし，(ⅰ)〜(ⅲ)において，$\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\boxed{\text{マ}}$は$3$で割り切れない正の整数であり，$\boxed{\text{フ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}\text{，}\boxed{\text{ミ}}$は$0$以上の整数である．