2010　上智大学　文,総合人間,外国語学部2月4日実施MathJax

【１】

(1)　${\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{y}}=1$を満たす正の整数の組$(x,y)$は$\boxed{\text{ア}}$組あり，そのうちで$x$が最大のものは

$(x,y)=(\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$

である．

【１】

(2)　$x$の整式$f(x)$を$x^2-1$で割った余りは$2x+3\text{，}{x}^2-x+1$で割った余りは$2x-2$である．このとき$f(x)$を$x^3+1$で割った余りは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

【１】

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}\angle \mathrm{A}=2\theta \text{，}\cos 2\theta =-{\displaystyle \frac{1}{9}}$とし，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$であり，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【２】　座標平面で，放物線$y=x^2$と円$x^2+{(y-k)}^2=1$を考える．

(1)　$k\geqq 1$のとき，この放物線と円がちょうど$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$だけを共有するならば$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$であり，$\mathrm{P}$の$x$座標を正とすると，$\mathrm{P}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

　以下では$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$とする．

(2)　点$\mathrm{P}$における共通の接線の方程式は

$y=\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

(3)　円の下側の弧$\mathrm{PQ}$と放物線により囲まれる図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\pi$

である．

【３】　$1$回引くごとに確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で当たりが出るくじがあり，当たりくじ$2$枚を賞金$512$円と引き換えることができる．

(1)　くじを$2$回引いたときの賞金の期待値は$\boxed{\text{ハ}}$円である．

(2)　くじを$3$回引いたときの賞金の期待値は$\boxed{\text{ヒ}}$円である．

(3)　くじを$4$回引いたときの賞金の期待値は$\boxed{\text{フ}}$円である．

(4)　くじを$5$回引いたときの賞金の期待値は$\boxed{\text{ヘ}}$円である．

(5)　くじを$6$回引いたときの賞金の期待値は$\boxed{\text{ホ}}$円である．

(6)　サイコロを$1$回振って出た目の数だけくじを引くとすると，賞金の期待値は$\boxed{\text{マ}}$円である．