2010　上智大学　経済(経営)学部2月6日実施MathJax

【１】　座標平面上に放物線$C_1\text{，}{C}_2$

$C_1:y=x^2-3\text{，}{C}_2:y=-x^2+3$

と$C_1$上の点$\mathrm{A}(-3,6)$が与えられている．また，$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線を$l$とする．

(1)　$k\ne \boxed{\text{ア}}$のとき，$l$と$C_1$は$2$点で交わり，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{B}$の$x$座標は$\boxed{\text{イ}}k+\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$k=2\sqrt{3}$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形の面積は

$\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{3}$

である．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$l$が$D$を$2$つの図形に分割するのは

$\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}<k<\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

のときである．また，$l$が$D$を面積の等しい$2$つの図形に分割するのは

$k=\boxed{\text{シ}}$

のときである．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標は$\mathrm{A}(2,2,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1,-5)$である．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とするとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

(3)　$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{OH}$を引いたとき，点$\mathrm{H}$の座標は

$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})$

である．

(4)　$\mathrm{CH}\perp \mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CH}\perp \mathrm{OH}$かつ，四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$6$とする．点$\mathrm{C}$の$x$座標が正ならば，$\mathrm{C}$の座標は

$(\boxed{\text{ニ}},\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$

である．

【３】　$1$から$9$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋と右図のような$1$から$9$の数字の書かれたマスがある．袋からカードを$1$枚取り出し，その数字と同じマス目を塗りつぶすという操作を行う．取り出したカードは袋に戻さず操作を行い，縦，横，ななめのいずれか$3$マスが塗りつぶされたときに操作を終了するものとする．例えば，カードを$1\text{，}5\text{，}4$の順に取り出したとき，操作は終了せず，次に$6\text{，}7\text{，}9$のいずれかのカードを取り出すと操作は$4$回で終了する．カードを取り出す確率はどのカードも等しいものとする．

(1)　$3$回の操作で終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(2)　$4$回の操作で終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

(3)　$7$回の操作で終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

(4)　$5$回以下の操作で終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$であり，よって，$5$回の操作で終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．