2010　上智大学　法(法律),外国語学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　$a={\log }_{2}3\text{，}b={\log }_{3}4\text{，}c=\sqrt[5]{6}$とすると

$\boxed{\text{あ}}<{\displaystyle \frac{4}{3}}<\boxed{\text{い}}<{\displaystyle \frac{3}{2}}<\boxed{\text{う}}$

である．

【１】

(2)　$1\leqq A<B<C$を満たす整数$A\text{，}B\text{，}C$に対して，関数

$f(x)=|Ax-1|+|Bx-1|+|Cx-1|$

を考える．$x$は$0\leqq x\leqq 1$の範囲を動くものとする．

(ⅰ)　$C<A+B$のとき，$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{え}}}}$で最小値をとる．

(ⅱ)　$f(x)$の最小値が$1$のとき

$C=\boxed{\text{ア}}A+\boxed{\text{イ}}B$

が成り立つ．

(ⅲ)　$f(x)$の最小値が$1\text{，}$最大値が$5$のとき，$A=\boxed{\text{ウ}}\text{，}B=\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅳ)　$f(x)$の最大値が$3$のとき，$C=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　ある高校の生徒を対象にして，$\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学への入試出願状況を調べた．結果は次のようになった．

・$\mathrm{A}$大学または$\mathrm{B}$大学に出願した生徒は$43$人．

・$\mathrm{A}$大学または$\mathrm{C}$大学に出願した生徒は$47$人．

・$\mathrm{B}$大学または$\mathrm{C}$大学に出願した生徒は$44$人．

・$\mathrm{A}$大学と$\mathrm{B}$大学に出願した生徒は$8$人．

・$\mathrm{A}$大学と$\mathrm{C}$大学に出願した生徒は$12$人．

・$\mathrm{B}$大学と$\mathrm{C}$大学に出願した生徒は$10$人．

(1)　$\mathrm{A}$大学に出願した生徒の人数と$\mathrm{B}$大学に出願した生徒の人数の和は$\boxed{\text{カ}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$大学に出願した生徒は$\boxed{\text{キ}}$人である．$\mathrm{C}$大学に出願した生徒は$\boxed{\text{ク}}$人である．

(3)　$\mathrm{A}$大学だけに出願した生徒の人数を$a\text{，}\mathrm{B}$大学だけに出願した生徒の人数を$b\text{，}\mathrm{C}$大学だけに出願した生徒の人数を$c\text{，}\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学すべてに出願した生徒の人数を$d$とする．このとき

$a-d=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b-d=\boxed{\text{コ}}\text{，}c-d=\boxed{\text{サ}}$

である．

(4)　$\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学のうち$1$校だけに出願した生徒の人数は$43$であった．$\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学すべてに出願した生徒の人数は$\boxed{\text{シ}}$である．$\mathrm{A}$大学，$\mathrm{B}$大学，$\mathrm{C}$大学のうち少なくとも$1$校に出願した生徒の人数は$\boxed{\text{ス}}$である．

【３】　定数$a$は$a>1$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,a)\text{，}\mathrm{R}(-1,0)$を考える．さらに，点$\mathrm{T}(0,t)\text{（}0<t<a\text{）}$を考え，直線$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{RP}$それぞれに関して$\mathrm{T}$と対称な点を順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を$(x,y)$とすると

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}at+\boxed{\text{ソ}}{a}^2}{a^2+\boxed{\text{タ}}}}$

$y={\displaystyle \frac{(\boxed{\text{チ}}{a}^2+\boxed{\text{ツ}})t+\boxed{\text{テ}}a}{a^2+\boxed{\text{ト}}}}$

である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}{a}^2}{{(a^2+\boxed{\text{ニ}})}^2}}(\boxed{\text{ヌ}}a{t}^2+\boxed{\text{ネ}}{a}^{2}t+\boxed{\text{ノ}}t+a)$

である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が三角形$\mathrm{PQR}$の面積に等しいとき

$t={\displaystyle \frac{a^2+\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}a}}$

が成立する．