2010　上智大学　理工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$から直線$y=mx$（ただし，$m$は定数）に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろすとき，点$\mathrm{Q}$の座標$(x_2,y_2)$は$2$次正方行列$A(m)$によって

$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=A(m)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$

で与えられる．

(1)　

$A(2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\left(\begin{array}{cc}1& \boxed{\text{ウ}}\\ \boxed{\text{エ}}& \boxed{\text{オ}}\end{array}\right)$

である．

(2)　$A(m)A(2)=O$（ただし，$O$は$2$次零行列）となるための条件は$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．このとき，$B=A(2)+2A(m)$とおき，任意の自然数$n$に対して$B$の$n$乗を

$B^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

とおく．

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\times {\boxed{\text{シ}}}^n$

である．

【２】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2\sqrt{3}$の球面$Q$を考える．

(1)　球面$Q$と平面$z=\sqrt{6}$が交わってできる円を$S_1$としたとき，円$S_1$の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．

(2)　円$S_1$において$x$座標が$\sqrt{3}$である$2$つの点を

$\mathrm{A}(\sqrt{3},a,\sqrt{6})\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{3},b,\sqrt{6})$（ただし，$a>b$）

とする．$a=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

(3)　円$S_1$において，$2$つの弧$\mathrm{AB}$のうち短い方の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}\pi$である．

(4)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}\text{，}$円$S_1$の中心を$\mathrm{P}$とする．

$\cos \angle \mathrm{COP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(5)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を通る平面が球面$Q$と交わってききる円を$S_2$とする．円$S_2$において，$2$つの弧$\mathrm{AB}$のうち短い方の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}\pi$である．

【３】　$\log x$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$y=x^2-2x$と$y=\log x+a$によって定まる$xy$平面上の$2$つの曲線が接するための条件は

$a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}+\log (\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}-\boxed{\text{ノ}})$

である．このとき，接点での接線の方程式は次で与えられる．

$y=(\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}-\boxed{\text{ヒ}})x-(\boxed{\text{フ}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}})$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{e}}<t<1$とし

$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x{e}^{-x}-tx|dx$

とおく．$S(t)$は$t=A$のとき最小値$M$をとるとする．

$\log A=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$

$M=-A(\boxed{\text{ム}}+\sqrt{\boxed{\text{メ}}})+\boxed{\text{モ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{e}}$

である．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とする．実数全体の集合の部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

$\mathrm{A}=\{x|x^3-12x-2a<0\}$

$\mathrm{B}=\{x|-b<x<b\}$

で定める．

(1)　$a=7\text{，}b=1$のとき

$-2\boxed{\text{あ}}\mathrm{A}\text{，}3\boxed{\text{い}}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\boxed{\text{う}}\mathrm{B}$

である．

$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}\text{，}\boxed{\text{う}}$の選択肢

(2)　$a=7$のとき，$-b\in \mathrm{A}$かつ$A\not\supset \mathrm{B}$となる最小の正の整数$b$は$\boxed{\text{ユ}}$である．

(3)　正の実数$a$に対して，$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$となるような$b$の最大値を$f(a)$で表すことにする．$f(a)$は$a$の関数として$a=c\text{，}$ただし$c=\boxed{\text{ヨ}}\text{，}$で不連続であり，この$c$に対して

$f(c)=\boxed{\text{ラ}}$

$\underset{a\to c-0}{\lim }f(a)=\boxed{\text{リ}}$

$\underset{a\to c+0}{\lim }f(a)=\boxed{\text{ル}}$

である．