2010　上智大学　理工学部A方式2月9日実施MathJax

【１】(1)　直線$l$と，$l$上にない点$\mathrm{P}$に対し，直線$l$と点$\mathrm{P}$の距離の定義を述べよ．

(2)　$xy$平面において，直線$l\text{：}ax+by+c=0$と点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$との距離$d$が

$d={\displaystyle \frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

で与えられることを，(1)で述べた定義に基づいて示せ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=10\text{，}{a}_{n+1}=(1+r)a_n-x$

ただし，$r\text{，}x$は定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$r=1\text{，}x=0$のとき，初項から第$10$項までの和を$S$とする．$S$の一万の位の数は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$千の位の数は$\boxed{\text{イ}}\text{，}$百の位の数は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$十の位の数は$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$r=1$のとき，一般項$a_n$は

$a_n=\boxed{\text{オ}}\times {\boxed{\text{カ}}}^n+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\times {\boxed{\text{ケ}}}^n+\boxed{\text{コ}})x$

で表される．

(3)　$r=1$のとき，$a_5=0$にするには，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$とすればよい．

(4)　$r={\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}x=2$のとき，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ス}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}11=1.0414$としてよい．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{OB}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$1:y$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は垂直，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

(4)　四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積は$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【４】　$xy$平面において，$2$つの曲線

$A\text{：}{x}^2-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

$B\text{：}{x}^2+{(y-c)}^2=r^2$（ただし$c>0\text{，}r>1$とする）

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$A\text{，}B$が接するための条件は$c=\sqrt{\boxed{\text{ト}}(r^2-1)}$であり，このとき，接点の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}(r^2-1)}$である．

(2)　(1)の条件が満たされるとき，曲線$B$が$x$軸よりも上にあるための条件は$r>{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(3)　(1)と(2)の条件が満たされているとき，$2$つの曲線$A\text{，}B$と$x$軸によって囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は

$V=\pi \sqrt{\boxed{\text{ト}}(r^2-1)}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}{r}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}})-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3$

である．