2010　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{サ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$x$は実数で，$x>0$かつ$x\ne 1$とする．このとき，

${({\log }_2(2x))}^2-8{\log }_{2}x+12{\log }_{x}2+4=0$

を満たす$x$の値は複数個あるが，その中で，最も大きい値は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$で，最も小さい値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{サ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接し，さらに，

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}+5\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{オ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　二つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が

$a_1=2\text{，}{b}_1=3\text{，}$

$a_{n+1}=a_n+2b_n\text{，}{b}_{n+1}=-a_n+4b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対し，

$c_n=a_n-b_n$

とおく．$c_{n+1}$と$c_n$の関係を求め，$c_n$を$n$で表しなさい．

(2)　自然数$n$に対し，

$d_n=a_n-2b_n$

とおく．$d_{n+1}$と$d_n$の関係を求め，$d_n$を$n$で表しなさい．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ$n$で表しなさい．

【３】　番号$1$を記した玉，番号$2$を記した玉，$\cdots \text{，}$番号$11$を記した玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$11$個が袋のなかに入っている．$1$個の玉を袋から取り出し，取り出した玉を袋に戻し，さらに，玉を$1$個袋から取り出す．$1$回目に取り出した玉に記されている番号の値を$a\text{，}2$回目に取り出した玉に記されている番号の値を$b$とする．

　このとき，$a$が$r$よりも大きいときはアメ玉$a$個とリンゴ$1$個をもらえ，$a$が$r$以下のときはアメ玉$b$個とミカン$1$個をもらえるものとする．ただし，$r$は整数で$1\leqq r<11$である．

(1)　アメ玉をちょうど$k$個とリンゴ$1$個をもらえる確率を$p_k$とする（$k$は整数で$r<k\leqq 11$）．$p_k$を求めなさい．

(2)　アメ玉をちょうど$k$個とミカン$1$個をもらえる確率を$q_k$とする（$k$は整数で$1\leqq k\leqq 11$）．$q_k$を求めなさい．

(3)　$p_k\text{，}{q}_k$それぞれは(1)，(2)と同じとする．$E_r$を

$E_r={\displaystyle \sum _{k=r+1}^{11}}k{p}_k+{\displaystyle \sum _{k=1}^{11}}k{q}_k$

とする．$E_r$を$r$で表しなさい．

(4)　$E_r$は(3)と同じとする．$E_r$が最大となる$r$の値，および，そのときの$E_r$の値を求めなさい．

【１】　$f(x)=\sin x-x$とする．$p$を$0<p<\pi$を満たす数とし，曲線$y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線の方程式を$y=g(x))$とする．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$g(x)\geqq f(x)$であることを示しなさい．

(2)　$k$を$0<k\leqq \pi$を満たす数とし，曲線$y=f(x)$と接線$y=g(x)\text{，}$および，$2$直線$x=0\text{，}x=k$で囲まれた部分の面積を$S(p)$とする．$p$が$0<p<\pi$の範囲を動くとき，$S(p)$の最小値を$k$を用いて表しなさい．

【２】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=7\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n-9}{a_n-2}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示しなさい．

(2)　自然数$n$に対し，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-3}}$とおく．$b_{n+1}$と$b_n$との関係を求めなさい．

(3)　$a_n$を$n$で表しなさい．

【３】(1)　次の$x\text{，}y$に関する連立方程式の解を求めなさい．

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2x+y+1}{3x+y+5}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x^2+y^2=1\end{array}$

(2)　座標平面上において，点$(x,y)$が方程式$x^2+y^2=1$で表わされる円の上を動くとき，

${\displaystyle \frac{2x+y+1}{3x+y+5}}$

の最大値と最小値を求めなさい．

【２】　行列$A\text{，}X\text{，}Y$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{cc}1& s\\ t& 1\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}u& 0\\ 0& v\end{array}\right)$

とする．ただし，$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$は実数で，$s\geqq 0\text{，}t\leqq 0$とする．

(1)　行列$X$の逆行列$X^{-1}$を求めなさい．

(2)　$X^{-1}AX=Y$を満たすとき，$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$の値を求めなさい．

(3)　$n$を自然数とする．

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

としたとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を$n$を用いて表しなさい．