2010　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　最高次の係数が$8$の$3$次多項式$P(x)$が

$P(0)=-4\text{，}P(1)=5\text{，}{P}^{\prime }(1)=16$

を満たすとする．ここで，$P^{\prime }(1)$は$P(x)$の$x=1$における微分係数を表す．多項式$P(x)-a(x-1)-bx$が多項式$x(x-1)$で割り切れるように定数$a\text{，}b$を定めると

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$

であり，このとき，その商を$Q(x)$とすると

$P(x)=x(x-1)Q(x)+\boxed{\text{ア}}(x-1)+\boxed{\text{イ}}x$

と表わされる．この両辺を微分すると

$P^{\prime }(x)=(x-1)Q(x)+xQ(x)+x(x-1)Q^{\prime }(x)+\boxed{\text{ウ}}$

となる．したがって，$Q(x)$は

$Q(1)=\boxed{\text{エ}}$

を満たし，$P(x)$は最高次の係数が$8$の$3$次式なので，

$P(x)=\boxed{\text{オ}}x{(x-1)}^2+\boxed{\text{カ}}x(x-1)+\boxed{\text{ア}}(x-1)+\boxed{\text{イ}}x$

と表わされる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　自然数$n$に対して，$1$から$n$までの番号の組$(i,j)\text{（}i\text{，}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$をすべて考え，その$1$つ$1$つを書いた$n^2$枚のカードを用意する．ここで，$(1,2)$の書かれたカードと$(2,1)$の書かれたカードは異なるカードである．

(ⅰ)　$n=10$とする．カードに書かれた$2$つの数の和が$10$となるカードをすべて選び出し，その中から，$1$枚取り出すとき，書かれた数の積が$16$より大きい確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(ⅱ)　$n=10$とする．カードに書かれた$2$つの数の和が$10$以下となるカードをすべて選び出し，その中から，$1$枚取り出すとき，書かれた数の積が$16$より大きい確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(ⅲ)　$n$を$5$の倍数として，$n=5k$とおく．カードに書かれた$2$つの数の和が$n$となるカードをすべて選び出し，その中から，$1$枚取り出すとき，書かれた数の積が$4k^2$より大きい確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}k-\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}k-\boxed{\text{セ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　座標平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{B}(x_2,y_2)$をとる．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からの距離の比が$3:2$となる点$\mathrm{P}$の軌跡は，中心が

$({\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ソ}}{x}_1+\boxed{\text{タ}}{x}_2}{\boxed{\text{チ}}}},{\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ツ}}{y}_1+\boxed{\text{テ}}{y}_2}{\boxed{\text{ト}}}})$

半径が

$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

の円である．さらに，線分$\mathrm{AP}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡が，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$R$の円となるとき，

${\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{R}{r}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

【２】　座標平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2$を考える．正の実数$t$に対し，放物線$y=x^2$上の点$(t,t^2)$における法線を$l$とする．直線$l$と放物線$y=2x^2$の交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とし，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めなさい．

(3)　$t$が正の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最小値と，それを与える$t$の値を求めなさい．

【３】　各自然数$n$に対して，$t$の関数$J_n(t)$を

$J_n(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}xdx$

と定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$J_n(t)$の導関数${J_n}^{\prime }(t)$を，$\sin t$と$\cos t$を用いて表しなさい．

(2)　$J_n(t+\pi )={(-1)}^n{J}_n(t)$を，置換積分法を用いて示しなさい．

(3)　$n=2$のとき，$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で，$J_2(t)$の最大値と最小値，および，それらを与える$t$の値を，それぞれ求めなさい．

(4)　$n=3$のとき，$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で，$J_3(t)$の最大値と最小値，および，それらを与える$t$の値を，それぞれ求めなさい．