2010　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)\text{，}\mathrm{D}(1,2,0)\text{，}\mathrm{P}(0,0,t)$

を考える．ただし，$0\leqq t\leqq 3$である．

(ⅰ)　${\mathrm{DP}}^2=t^2+\boxed{\text{ア}}$である．また$\cos \angle \mathrm{ODP}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{94}}}$なら，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}},\boxed{\text{ク}})$である．また$▵\mathrm{ABC}$と線分$\mathrm{DP}$の交点が重心$\mathrm{G}$と等しいなら，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$は，各自然数$n$に対して，${\theta }_n={\displaystyle \frac{n\pi -\alpha }{\boxed{\text{サ}}}}$で極値をとる．ここで，$\alpha$は$0<\alpha <\pi$の範囲にあり，

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

を満たす．

(ⅱ)　(ⅰ)において，$x={\theta }_n$のときの極値$y_n$は$y_n={(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}{e}^{3{\theta }_n}$である．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$y_n$について，${\displaystyle \frac{y_{2n+1}}{y_{2n-1}}}$は一定で，その値を$e^{C\pi }$と表すと，$C={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}-\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}+\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．またこの$2$曲線で囲まれた部分は$2$つあり，そのうち，$x\leqq 0$の部分の面積を$S\text{，}x\geqq 0$の部分の面積を$T$とすると，

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}-\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}\text{，}T={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}+\boxed{\text{メ}}\sqrt{\boxed{\text{モ}}}}{\boxed{\text{ヤ}\text{ユ}}}}$

となる．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

として，$A$は逆行列をもたないとする．

(1)　$A^2$を求めなさい．

　以下では，$AB+BA=E$が成り立つとする．

(2)　$x$の値を求めなさい．

(3)　$ABA=A$を示しなさい．

(4)　$2$以上の自然数$n$に対し，${(AB)}^n+{(BA)}^n$を求めなさい．

(1)　$0$以上の整数$m\text{，}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，$I(m,n)$を

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^m{(1-x)}^{n}dx$

で定める．

(ⅰ)　$m\geqq 1$のとき，部分積分法を用いて，

$I(m,n)={\displaystyle \frac{m}{n+1}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{m-1}{(1-x)}^{n+1}dx$

が成り立つことを示しなさい．

(ⅱ)　$I(m,n)={\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$を示しなさい．

(2)　$f(x)$を区間$[0,1]$で定義された連続関数とする．自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，多項式$P_n(x)$を

$P_n(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_{k}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)x^k{(1-x)}^{n-k}$

で定める．ここで，${}_{n}C_k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$である．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{P}_n(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$

となることを示しなさい．