2010　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ホ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　座標平面において，関数$y=x^2+(2k-1)x-3k^2+9k-2$のグラフを$C$とする．ただし，$k$は実数とする．$C$と$x$軸が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるのは，

$k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$または$k>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

のときである．さらに点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標がともに正となるのは，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

のときである．$C$を$x$軸方向に$3\text{，}y$軸方向に$-2$だけ平行移動した曲線を$C^{\prime }$とする．放物線$C^{\prime }$の軸が$y$軸となるばらば，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ホ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表す．

$1+{\sin }^{2}B={\cos }^{2}A+{\sin }^{2}C$

が成り立つとき，$C=\boxed{\text{ス}\text{セ}}°$である．また，この三角形の面積を$21\text{，}$外接円の半径を$10$とするとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ソ}\text{タ}}$で，さらに$\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ホ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$1$つのさいころを続けて$3$回投げる．このとき，$3$回とも偶数の目が出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$であり，少なくとも$1$回は偶数の目が出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．また，その$3$回の出る目の数の和が$9$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}}}$であり，その和が$9$より小さくなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}}}$である．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=x{e}^{-x}$と定める．ここで，$e$は自然対数の底である．

(1)　$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$および，第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めなさい．

(2)　座標平面において，曲線$C:y=f(x)$上の点における$C$の接線のうち，傾きが最小となるものを$l$とする．その接線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　(2)の接線$l$の下側の部分で，曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}x$軸の$3$つで囲まれた図形の面積を求めなさい．

【３】　自然数$k\text{，}n$に対し，$1^k\text{，}{2}^k\text{，}{3}^k\text{，}\cdots \text{，}{n}^k$の和を$S_k(n)$とおく．例えば，$k=1$のとき，$S_1(n)$を求めると，$S_1(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$である．

(1)　$k=2$のとき，$S_2(n)$を，恒等式$t^3-{(t-1)}^3=3t^2-3t+1$を用いて求めなさい．

(2)　$k=3$のとき，$S_3(n)$を，恒等式$t^4-{(t-1)}^4=4t^3-6t^2+4t-1$を用いて求めなさい．

(3)　一般に，$2$以上の自然数$k$に対し，

$S_k(n)={\displaystyle \frac{1}{k+1}}\{n^{k+1}-{(-1)}^{k}n-{\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}}{(-1)}^{k-j}{}_{k+1}C_j{S}_j(n)\}$

が成り立つことを示しなさい．ここで，${}_{k+1}C_j={\displaystyle \frac{(k+1)!}{j!(k+1-j)!}}$である．