2010　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=|x^2-x|+1$とする．

(1)(ⅰ)　方程式${\log }_{3}f(x)=1$の実数解は$x=-\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　方程式$f({\log }_{3}x)=3$の実数解は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　方程式$f(x)=a$が区間${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$に少なくとも$1$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．また，この方程式が区間${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$に少なくとも$1$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(3)　方程式$f(x)=f(b)$が区間${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$に少なくとも$1$つの実数解をもつような正の定数$b$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{ヌ}}+\sqrt{\boxed{\text{ネ}}})\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}})$

である．

【２】　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$があり

$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=5\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$

であるという．ただし，記号$\cdot$は内積を表す．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\cos \angle \mathrm{AOC}=t$とおく．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}$である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の両方に垂直であるような実数$x\text{，}y$の値を$t$を用いて表すと

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}t\text{，}y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}t$

である．このとき

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{t}^2+\boxed{\text{ソ}}$

となる．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$t$を用いて表すと

$V={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}-\boxed{\text{ト}\text{ナ}}{t}^2}$

となる．

【３】　コインを$6$枚持っている$\mathrm{A}$君と，コインをたくさん持っている$\mathrm{B}$君が，次の(G)を何回か繰り返すゲームを行う．

(G)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君がそれぞれ$1$個のさいころを投げ，それら二つのさいころの目の和が$4$の倍数のときは$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$君からコインを$m$枚もらい，$4$の倍数でないときは$\mathrm{B}$君が$\mathrm{A}$君からコインを$2$枚もらう．

ただし，$m$は自然数である．$\mathrm{B}$君がコインをたくさん持っているとは，$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$君からコインをもらうべきときに，$\mathrm{B}$君は必要な枚数のコインを必ず持っていることを意味するものとする．

(1)　(G)を$1$回行うとき，$\mathrm{A}$君が持っているコインの枚数の期待値が$6$より大きくなるのは，$m\geqq \boxed{\text{ア}}$のときであり，$m=\boxed{\text{ア}}$のとき，その期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　(G)を$3$回行うとき，$\mathrm{A}$君が$6$枚より多くのコインを持っている確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなるのは，$m\geqq \boxed{\text{オ}}$のときであり，$m=\boxed{\text{オ}}$のとき，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

(3)　(G)を$5$回行う．ただし，$\mathrm{A}$君が持っているコインの枚数が$0$になったらその時点でゲームを終了するものとする．また，$\mathrm{B}$君が$\mathrm{A}$君からコインを$2$枚もらうべきときに，$\mathrm{A}$君が$1$枚しか持っていない場合は，$\mathrm{B}$君はその$1$枚だけをもらうものとする．このゲームを行うとき，$\mathrm{A}$君がコインを少なくとも$1$枚持っている確率は

$m\geqq \boxed{\text{コ}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$

$m<\boxed{\text{コ}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}}$

である．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，放物線$C=-{(x-a)}^2+k^2$を考える．ただし，$k$は正の定数とし，$a$は

$-k\leqq a\leqq k\cdots$(＊)

の範囲にある実数とする．そのとき，$C$と$x$軸の交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{P}$とし，$C$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$a$が(＊)の範囲を動くときの，$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$の最大値$M$を$k$を用いて表すと$k\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$の場合は$M=\boxed{\text{ウ}}k\text{，}k>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$の場合は$M=k^2+k+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$となる．

(2)　$a$が(＊)の範囲を動くときの，$\mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}$の最大値$N\text{，}$および最大値を与える$a$の値をそれぞれ$k$を用いて表すと

$N={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}{k}^{\boxed{\text{コ}}}\text{，}a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}k$

である．

　$a$が(＊)の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる領域（境界を含む）を$D$とし，$D$の面積を$S$とおく．

(3)　$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{k}^{\boxed{\text{ソ}}}$である．

(4)　$D$に含まれる三角形のうち，面積が最大である三角形の面積を$S_0$とおくと

${\displaystyle \frac{S_0}{S}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

　ただし，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対して，$\mathrm{AB}$は線分$\mathrm{AB}$の長さを表し，とくに$\mathrm{A}=\mathrm{B}$のとき，線分$\mathrm{AB}$とは点$\mathrm{A}$のことであって$\mathrm{AB}=0$であるものとする．