2010　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　座標平面上に$\mathrm{A}(6,1)\text{，}$点$\mathrm{B}(-2,-1)$をとる．点$\mathrm{A}$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(-5,3)$に平行な直線を$l_1$とする．点$\mathrm{B}$を通り直線$l_1$に垂直な直線を$l_2$とする．

(1)　$l_1$の方程式は

$\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}y-\boxed{\text{ウエ}}=0$

と表される．

(2)　$l_2$の方程式は

$\boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}}y+\boxed{\text{キ}}=0$

と表される．

(3)　$2$つの直線$l_1\text{，}{l}_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．$a\text{，}b$を実数として，$2$次関数

$y=-x^2+ax+b$

が表す曲線を$C$とする．曲線$C$は$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通るとする．このとき，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

であり，直線$l_1$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【２】　関数$f(\theta )=2{\sin }^4\theta -3\sin \theta {\cos }^2\theta +2\cos 2\theta$を考える．

(1)　$x=\sin \theta$とおくと，$f(\theta )$は$x$の整式

$2x^4+\boxed{\text{ア}}{x}^3-\boxed{\text{イ}}{x}^2-\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$

で表すことができる．さらに，この式は

$(x+1)(x-\boxed{\text{オ}})(x+\boxed{\text{カ}})(\boxed{\text{キ}}x-\boxed{\text{ク}})$

と書くことができる．

(2)　$n$を$0\leqq n\leqq 24$の範囲を動く整数とする．$\theta$が${\displaystyle \frac{n\pi }{12}}$で表される$25$個の値をとるとき，$f(\theta )=0$を満たすものはこのうちの$\boxed{\text{ケ}}$個，$f(\theta )>0$を満たすものはこのうちの$\boxed{\text{コサ}}$個である．

【３】　$g(x)$は微分可能な関数で

$g(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{g}^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{9}{10}}\text{，}g(2)={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}{g}^{\prime }(2)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

を満たしているとする．ここで，$g^{\prime }(x)$は$g(x)$の導関数を表している．$f(x)$は連続な関数で

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt={\displaystyle \frac{3}{x^2+2}}+g(x){\displaystyle {\int }_0^2}f(t)dt$

を満たしているとする．このとき，

(1)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(t)dt={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

(2)　$g(0)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

(3)　$f(1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\text{，}f(2)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$

(4)　${\displaystyle {\int }_1^2}f(t)dt=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$

である．

【４】　関数

$f(x)=x\sqrt{8-x}\text{（}x\leqq 8\text{）}$

を考え，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)　$f(x)$の値が最大となるときの$x$の値を求めよ．

(2)　座標平面上に曲線$C$の概形を描け．さらに，$k$を実数として，方程式

$f(x)=k$

が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$\mathrm{A}(5,f(5))$と原点$\mathrm{O}$の$2$点を通る直線を$l$とする．曲線$C$上の点で，$x$座標が$0\leqq x\leqq 5$の範囲にあり，その点における接線の傾きが直線$l$の傾きと等しいものが存在する．その点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標と点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$上の点で点$\mathrm{B}(3,0)$に最も近いものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

【５】　座標平面上の曲線$C:y=\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．$t$を正の実数として，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\log t)\text{，}x$軸上の点$\mathrm{Q}(2t^2-t,0)$をとり，曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{E}$とする．ここで$\log$は自然対数を表すものとする．

(1)　関数$\log x$を微分せよ．その導関数を利用して，微分係数の定義を考えて，極限$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x-1}}$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$と一致しないとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{v}$とおき，その成分表示を$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$とする．$v_1\text{，}{v}_2$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$を(2)で求めた単位ベクトルとする．$t$が$1$より大きな値をとりながら限りなく$1$に近づくときの$v_1\text{，}{v}_2$の極限値をそれぞれ求めよ．また，$t$が$1$より小さな値をとりながら限りなく$1$に近づくときの$v_1\text{，}{v}_2$の極限値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\theta =\angle \mathrm{EPQ}$とおく．極限$\underset{t\to 1}{\lim }\cos \theta$の値を求めよ．